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分层教学，就是针对学生不同的学习水平和能力，以及学生自身对数学的兴趣爱好程度和要求有区别地制定学习目标，设计课程内容，创设不同的教学情境和教授方式，从而进行有针对性的因材施教，促进学生得到全面的锻炼和发展，进而实现更高效率，更好效果的教学模式。从2008学年开始，在我校教务处的大力支持下，我们在经济类专业的高等数学教学中试行了分层教学模式，和以往的不分层相比，两年来教学效果取得了显著的提高。具体实施方法是，对于经济类专业的两个学院，经济贸易学院和工商管理学院，我们采取不打乱院系，但是分层也分班的方式。层次分为两层，即A层和B层。A层是基本知识掌握、理论灵活运用、理论联系实际等方面要求较高的层次，教学计划和内容以考研和在专业领域进行深入研究为目标；B层相应要求较低，但是以打下扎实基础，使数学成为后继专业课学习的有力工具为基本原则。同时，由于A层班级的较高要求不易把握，由具有多年教学经验的教师担任授课工作。分层的依据有客观依据和主观依据。客观依据是学生的数学成绩水平，一方面参考高考成绩，另一方面，在新生入学伊始，进行一次数学摸底考试。摸底考试的试题由教学经验丰富的教师来出，大部分是一般难度的题目，但有少数较难题，由此可看出学生的数学成绩高下。分层的主观依据即是学生自己对数学课程的兴趣深浅程度和要求高低。比如，有的学生虽然成绩一般，但是对数学很感兴趣，或者有考研等在本专业领域继续研究的意向，我们可以考虑将该生分A层班级听课。反之，有的学生考试成绩虽高，但是对数学兴趣不大，只是当做一门必修基础课程来修，那么，就可以征求该生的意见，将其分在B层班级上课。考虑到班级人数和授课效果，我们采取相当三个自然班的人数为一个授课班。分层教学的根本目的是因材施教，因此，第一学期期末考试结束后，一些学生的数学成绩、对数学的兴趣态度等可能已经不再适合原来的'班级教学目标，这就需要对班级进行调整，也就是说，分层教学具有一定的流动性。调整时也遵循上述分层依据，因为调整也是再一次分层。一方面是学生的试卷成绩，另外兼顾学生的主观意愿。但是实践证明，波动不宜过大，以不超过5%为宜。
分层教学取得了一定的成效，较之08级以前不实施分层教学的学生成绩，不及格率有了较大幅度的降低。60-69，70-79分数段的人数有显著增加，而90分以上的优秀率有小幅增加，平均分明显提高。成绩分布呈正态分布。由此可见，分层教学符合大多数学生的愿望和要求，应当坚持和完善。分层教学有的放矢，因材施教，可以提高学生的学习兴趣，降低因学科本身的抽象枯燥造成的负担。使一些对数学没有信心，失去学习兴趣的学生达到了大纲的要求，较好解决了大学生数学学习两级分化太大的矛盾。08级以后的学生对分层次教学的认可度越来越高，适应数学学习的能力和学习数学的信心也大大地增强。实践证明，分层教学保证了面向全体学生，因材施教，做到了优等生吃得饱，中等生吃得好，差等生吃得了，同时，减轻了学生的课业负担，是全面提高教学质量和实施素质教育的行之有效的途径。虽然分层教学的实施使高等数学教学各方面有了大的改进，但是还有一些问题亟待解决。比如不同自然班的学生在同一个授课班上数学课，这就给课堂和作业管理造成了一定的难度，对教师和辅导员提出了新的要求。另外，考试过后需要将学生成绩按自然班排名，也造成了一些麻烦。我们的工作还仅仅是一个开始，今后将在实践中不断完善分层教学的教学方式，比如，在考核学生成绩方面，可以考虑不仅依据笔试的卷面成绩，再兼顾其它形式的考核成绩；在教学过程中，可适当借助计算机进行多媒体教学，以提高学生的学习兴趣。
高等数学是大学本科经济类专业学生的一门重要的基础课程，其重要性体现在学好这门课程不仅是学好其专业课的基本保障，更是提高思维素质的方式和进行更高层次研究的不可缺少的工具。因此，一般的本科院校对经济类的学生从一年级开学就开始开设高等数学课程。然而，高等学校扩大招生后，我国的高等教育已经从精英教育发展到大众教育阶段，使得高校各专业入学人数在激增的同时，生源质量下降已是不争的事实。而且学生来自全国各个省市地区，入学的数学成绩、水平参差不齐；不同学生的兴趣、爱好及发展方向各不相同。而相同专业所使用的教材、教学计划、教学大纲都是一样的，学生和教师基本没有选择的余地。这种统一的教学模式严重阻碍了高等数学
教学质量的进一步提高。目前，这一课程的教学面临的最大问题是学生的学习兴趣和学习成绩的下降。而造成这一问题的因素是多方面的，其中一个重要的原因是忽视学生对教学方法、教学内容的不同需求。因此，根据学生的数学成绩、兴趣爱好、发展志向在适当尊重个人意愿的前提下对学生实施不同要求，不同方式的教学方式，就势在必行。本文以科学理论为基础，结合本校的教学实践，分析论述了分层教学的实施方法和取得的成果。
[摘 要]本文对高等数学与初等数学教学中有关函数与极限内容的衔接问题进行了分析和讨论，并给出了解决相关问题的一些教学建议。
[关键词]高等数学 初等数学 教学内容 衔接
高等数学是高等院校绝大多数专业的一门重要公共基础课。一方面，高等数学为后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法；另一方面，学生通过学习高等数学，可逐步培养具有初步抽象概括问题的能力，一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
在高等院校中，各个学科门类所开设的专业课程，相对于中学所开设的课程而言，分类更细化，研究内容更丰富，研究方法更新颖，使用的工具更先进。尤其对于高等数学课程，研究的对象和采用的工具特别是思维方法等较初等数学都有较大的变化，同时，教学信息量大大增加。所以，对于初学高等数学的学生来讲，普遍感觉到高等数学难学，难就难在高等数学与初学数学的衔接出现“台阶”。
2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。比如，在人教版的高中数学新教材中，编入了一元函数的极限与导数、概率论与数理统计以及线性规划等的部分内容，试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。
目前，虽然各个高校也在不断进行改革和加强内涵建设，例如，建设精品课程和打造优秀教学团队等，但是，对高中数学教材内容的新变化尚没有给予充分考虑，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题，例如，大学数学与高中数学交叉重复的内容增多，而有些内容却仍然存在脱节或空白。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。大学数学与初等数学教学内容的有效衔接是高等学校数学教师亟待解决的问题之一。
就高等数学与初等数学教学内容的衔接方面而言，在高等数学课程的许多教学内容里均有体现。下面主要就“函数与极限”这部分内容给出分析比较与教学建议。
1、函数
函数及其初等性质是初等数学讨论的主要内容之一。特别是对于一些简单函数，如一次函数、二次函数、特殊的幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，中考或高考对正确理解和运用它们的初等性质以及熟练地进行初等运算等方面的要求都比较高，学生掌握得也比较牢固。高等数学则是以函数为主要研究对象，以函数的微分、积分为主要研究内容。高等数学教材在有关函数的初等性质方面对学生的要求，除了初等数学中的那些基本要求之外，又提出了更多、更高的要求。高等数学教材中所涉及的函数内容较初等数学教材也更加丰富。
与高中数学教材类似，高等数学教材在介绍函数概念之前，首先介绍集合概念及其运算，然后引进映射的概念。集合论是近、现代数学的基石，而映射是近、现代数学最基本的概念之一。在介绍集合与映射的基本内容之后，函数概念便顺理成章地作为一类特殊的映射被引进。高等数学和高中数学将函数作为一类特殊的映射，比初中数学对函数概念的刻画更加严格和深刻，其内涵也更为丰富。与现行的高中数学教材不同的是，高等数学教材除引进映射的概念外，还介绍了逆映射和复合映射的概念。另外，初等数学中很难见到的一些函数，如符号函数、取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数等，在高等数学中经常被提及和研究。高等数学教材中还增加了函数的有界性、基本初等函数和初等函数等概念，介绍了双曲函数和反双曲函数的概念及有关内容，对反函数和复合函数等内容的要求有所提高，对一些基本初等函数如幂函数、反三角函数等的要求也有所提高。例如，现行的高中数学教材仅对反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念作了简要介绍，并且只要求学生会用这些反三角函数表示“非特殊角”即可，而对它们的初等性质和图像特征以及对反余切函数、反正割函数和反余割函数的相关内容等都未作要求。
教学建议：根据高等数学与初等数学对函数内容要求的不同，在高等数学教学中，应简要复习集合和映射的概念及相关运算，并把函数概念及有关性质作为映射的特例进行简要回顾，而把逆映射与复合映射、反函数与复合函数的概念及有关内容作为重点进行讲述和介绍。高等数学教学对初等数学中不太涉及的符号函数、取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数等内容应作详细介绍，对一般的幂函数和反余切函数、反正割函数、反余割函数以及双曲函数、反双曲函数的概念、性质及图像也应作较为详细的讲解，而对初等数学中已重点讨论的二次函数、特殊幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的单调性、奇偶性和周期性等初等性质只需作简要介绍甚至一笔带过。高等数学教学还应讲解清楚在高等数学中经常遇到的函数有界性、基本初等函数和初等函数等基本概念。
2、极限
对于数列极限和函数极限的概念，高中教材采用的是描述性定义，而这种定义绝不是数列极限和函数极限的精确定义。高中学生对数列极限和函数极限的描述性定义比较容易理解，因为它们比较形象和直观，对简单数列或函数的极限求法也易于掌握。
数列极限和函数极限的精确定义或称数学定义，是在高等数学教材中采用和“的表述形式给出的。对于数列极限和函数极限的一和”定义，许多大学新生都感到抽象和难以理解。可以说，数列极限和函数极限的和一定义是大学生在高等数学的学习中遇到的第一个难点。关于数列极限和函数极限的其它理论结果和运算性质，如收敛数列和函数极限的性质、无穷小与无穷大的概念与比较、极限运算法则的理论推导、极限存在准则与两个重要极限等，都是高等数学教材重点讲述的内容。
教学建议：高中阶段对数列极限和函数极限的概念及运算的简单介绍，为大学阶段高等数学的进一步学习奠定了形象直观的基础。但在高中数学教学过程中，介绍了数列极限和函数极限的描述性定义之后，应明确告知学生这些并非数列极限和函数极限的精确定义，它们的精确定义或数学定义以及有关数列极限和函数极限的丰富理论结果和运算性质将会在大学的高等数学或数学分析教材中给出。另一方面，大学新生在学习高等数学时，应能很好地回顾高中阶段介绍的数列极限和函数极限的描述性定义，以加深理解它们的严格数学定义，为后续内容的学习奠定扎实的基础。
需要说明的是，关于高等数学与初等数学教学内容的衔接问题，除了函数与极限的有关内容之外，对于一元函数微分学等内容的衔接，也有不少问题值得分析与探讨。另外，高等数学与初等数学的教学内容还存在某些知识点的“断裂”问题，例如，现行的高中数学教材已不再介绍极坐标及有关内容，而大学数学教材则是把极坐标知识作为已知知识对待的。这些问题也是需要亟待解决的问题。
[1]同济大学应用数学系主编。高等数学(第五版上册)
[2]复旦大学数学系陈传璋。金福临。朱学炎。欧阳光中编
[3]人民教育出版社中学数学室编著数学
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摘要 从产生的历史、研究对象和研究方法3个方面说明，使高等数学的初学者能够在初等数学即常量数学的基础上顺利进入高等数学即变量数学的学习。
关键词 高等数学；初等数学；数学史；研究对象；研究方法
中图分类号：G642 文献标识码：B文章编号：1671-489X(2011)15-0047-02
Difference and Relation from Advanced Mathematics Comparing with Primary Mathematics//Yang Limin, Zhao Songqing
Abstract This paper shows the difference and relation from advanced mathematics comparing with primary mathematics by Mathematical History, Investigative object and Investigative method. Fresher who want to study advanced mathematics need to know them.
Key words advanced mathematics; primary mathematics; mathematical history; investigative object; investigative method
Author’s address College of Science, China University of Petroleum, BEijing, China 102249
高等数学是理、工、经、管类各专业大学生的一门重要专业基础课，近年来有些文科专业如英语、法律也开设相应的文科高等数学课程，说明高等数学的广泛应用性得到越来越多人的认识。如何学好高等数学是人们共同关注的问题。由于高等数学与初等数学所处历史时期不同，使得它们的研究对象、研究方法有着很大的不同。这使得有些学生在开始学习高等数学时有些迷茫，不明白数学怎么突然变了样子，导致不易入门，对高等数学产生抵触情绪，学不好高等数学。注意是学好高等数学的重要环节，可以让学生顺利进入高等数学的学习，为专业课程的学习打好基础。
1 初等数学与高等数学处在不同历史时期[1]
数学来源于人类的生产实践，又随着人类社会的发展而发展，数学是研究现实世界的数量关系与空间几何形状的科学，数学是研究数与形的科学。因此，数学发展经历了几个历史时期。
1.1 数学的萌芽时期
远古时代至公元前6世纪，人类处于原始社会。社会实践活动主要是打猎与采集野果，形成整数概念，建立简单运算，产生几何上一些简单知识。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题的证明和演绎推理。小学数学的内容基本是这一时期的数学成果。
1.2 常量数学时期
公元前6世纪至17世纪上半叶，人类处于原始社会和封建社会，对自然的认识主要限于陆地，依靠感观认识世界。所以这时期数学研究的主要是常量和不变的图形，形成比较系统的知识体系、比较抽象的并有独立的演绎体系的学科。中国古代数学名著《九章算术》和古希腊的《几何原本》是代表作。中学数学课程的主要内容基本上是这一时期的成果。
1.3 变量数学时期
公元17世纪上半叶至19世纪20年代，人类处于封建社会末期资本主义初期，经历了著名的文艺复兴。为了通商的需要，人类开始大规模地、看不见陆地地航海，所以，这时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。笛卡尔的解析几何学、牛顿-莱布尼茨的微积分及围绕微积分的理论和应用而发展起来的一大批数学分支，使数学进入一个繁荣的时代。大学的高等数学课程的主要内容基本上是这一时期的成果。
1.4 近代数学时期
19世纪20年代至20世纪40年代，微积分基础的严格化、近世代数的问世、非欧几何的诞生、集合论的创立都是这一时期的成就。空前的创造精神和严格化是其主要特点。这些理论已进入大学高年级及研究生的学位课程中。
1.5 现代数学时期
20世纪40年代至今，以数学理论为基础的计算机的发明使数学得到空前广泛的应用，泛函分析、模糊数学、分形几何、混沌理论等新兴数学分支产生。这些理论已进入大学高年级及研究生的学位课程中。
2 初等数学与高等数学的研究对象不同
以图形对照的形式说明二者的区别和联系，如图1所示(左侧为初等数学的研究内容，右侧为高等数学的研究内容)。
3 举3个例说明高等数学与初等数学在思想方法上的区别与联系
【例1】曲线的切线
初等数学给出圆的切线是与圆只有一个交点的直线，曲线的切线显然不能照此定义，曲线的切线定义为割线的极限位置。如曲线的切线斜率是多少？(见图2)
割线斜率的定义与计算属初等数学的内容，在割线斜率的基础上考虑M点沿曲线无限靠近P(0,5)点，从而得到P点的切线的斜率，这一定义与方法属高等数学的内容。
【例2】曲边形的面积
求由x轴，x=1，y=x2所围图形的面积。
如图3所示，用曲边三角形内n个小矩形的面积和来近似曲边三角形的面积，得出面积的近似值。
曲边三角形面积近似值的求法与计算属初等数学的内容，在近似值基础上让n趋于无穷从而求得准确值的方法属高等数学的内容。
【例3】无限项求和
上述3个例子，例1体现了微分学的思想，例2体现了积分学的思想，例3体现了无穷级数的思想。从例子可看出：用初等数学的方法解决这类问题，只能得到近似值，得不到最终答案；要得到精确答案，必须在一个无限变化的过程中来考察问题，这正是高等数学的思想方法。
总之，高等数学与初等数学的区别在于研究对象和方法上的不同：初等数学研究的是规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量，亦称常量数学，思想方法上片面、孤立、静止地考虑问题；高等数学在初等数学的基础上研究的是不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化过程的变量，思想方法上是在变化运动中考虑问题，也就是极限的方法。
高等数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法不同。人们要随着这种不同转变学习时的思想方法，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应高等数学的学习，迅速入门，学好高等数学。
参考文献
[1]克莱因。古今数学思想(二)[M].朱学贤，等，译。上海：上海科学技术出版社，2002:51-55
分层教学的理论基础是美国心理学、教育学家布鲁姆
(B.S.Bloom)掌握学习理论。布鲁姆认为：只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目
标。掌握学习理论要求教师的教学应根据学生的实际发展水平、学习方式和个性特点来进行。而一般高校的生源来自全国各个省市地区，近年来的高校扩招也造成了生源质量的下降。这就造成了学生的数学水平参差不齐，差异较大，而分层教学可以较好得体现上述思想。分层教学法还以多元智力理论为基础，尊重学生的个性差异，重视个性发展，遵循因材施教的原则，以学生的发展作为教学的出发点和归宿，真正体现以学生发展为中心，以社会需要为方向，以学科知识为基础的教育改革要求，也能真正体现素质教育的精神内涵。另外，其实在我国古代，教育家、思想家孔子就已经提出育人要深其深，浅其浅，益其益，尊其尊，即主张因材施教，因人而异。也就是说，教师的教，一定要适合学生的学。