认真品味一部名著后，相信大家都增长了不少见闻，何不静下心来写写读后感呢？现在你是否对读后感一筹莫展呢？
吴军2012年的作品，源于其在谷歌黑板报的系列文章，讲述数学方法在信息技术中的应用，说明了为什么科学研究中方法论如此的重要，以及数学如何简单优雅地解决问题，直达本质。对比他的其他作品比如《浪潮之巅》、《硅谷之谜》，本书比较偏技术，属于目前大热的数据科学（Data Science）范畴，在云计算、大数据和人工智能等成为常态和趋势的今天，适合所有对IT技术及相关管理人员阅读。对我而言，最大的收获包括：
规则vs算法：自然语言处理，在早期几十年基于文法规则都无法达到可应用的效果，终于在转变为基于统计方法且积累了足够数据后，形成了突破，达到了今日可大规模商用的效果。再次说明了数据及算法在今日的重要性。
一些常见应用涉及的优化算法：搜索相关（分词、网络爬虫、索引、结果排名、广告及反作弊）、文本处理（新闻分类、广告相关性、输入法）、地图路线规划、信息指纹、密码学等。这些算法不止适用于这些应用场景，还可以在其他许多地方借鉴，比如用户评论分析也需要用分词和语义分析，许多价值优化算法都需要用到期望值最大化和逻辑回归等。
优雅的理论模型：在初始阶段，出于时间和成本考虑，在技术实现上可能会使用一些拼凑的方法，甚至山寨，但是这种方法并不可持续，很难进行系统化的优化，开发维护成本都很高，最终会遇到灾难性问题。做事情需要有境界，最求简单而优雅的理论和工程实现，这在长期是非常有好处的。
吴军使用浅显易懂的语言，把解决问题的思路和复杂的数学模型讲得很清楚，虽然理解延伸阅读里的具体数学公式还是有些挑战。其实重要的是思想和方法，具体的实现可以在用到时再进一步的了解。如何用简单的语言把复杂的技术讲清楚，也是我工作的需要，要不断学习磨练。书里提到了启发吴军这方面能力的两本书，即《从0到无穷大》和《时间简史》，会有要去看下。
我们早上的数学课，可有趣了。看了卡丁车和比塞跑步的小游戏：知道了长颈鹿在前面，蜗牛在后面学会了上、下、前、后、左、右。还学了怎样坐公交车回家，怎样看站牌。这节数学课可有意思啦！
今天我来到学校。查老师给我们发弟子规的书早读。早读5分钟后吃饭。饭后急忙刷洗饭碗，并帮老师送饭桶；回来后就开始上第一节课—数学。我们学到第二单元了，第一节课叫“过生日”；漂亮的沈老师一边指着课本一边教我们做数学题的方法，每道题解题的方法有多种，而且很有趣，我很喜欢我很喜欢数学！
今天，数学课的时候仲老师让我们做游戏。第一个游戏是比進摆的楼最高，我们组材料不多，怎么摆也摆不好。但是我们都不放弃，第二个游戏是比谁摆的最漂亮，我们想了很多办法，摆了一个漂亮的学校。老师夸我们善于思考，还让我们继续努力。受到老师表扬，我们四人小组每个人都心情舒畅
今天，上数学课的时候，王老师让慕涵宇、郭松浩、陈麒宇三位同学上讲台讲课，他们讲了破十法、平十法、划线段法等，大家讲得都非常好，我很羡慕他们。明天我也要上台讲，加油！
今天我们上了一节非常有趣的数学课，老师让我们四个人一组，我们搭的是塔，我们是拿各种各样的图形做的，我感觉我们组的创意很棒，我们组是搭的最高的，因为我们的东西多，所以我们搭的高，但我们搭的时候还倒了，我本来有两个长方体，我把一个忘了，我同桌就说我：“把你那个放那干嘛？”，我才想起来。我们虽然倒了几次，但是我觉的我们组是搭的最高最漂亮的'。
今天的课太有趣了，真希望以后都是这样的课
今天数学课，王老师把我们带到了一个很大很大的教室，王老师让我们各自挑选了自己喜欢的东西，按要求摆放它们的位置，就像玩游戏一样，不知不觉就下课了，我盼望着下次还能上一节公开课
数学用在模型上而不是现实世界中，需要抽象思考出模型，即数学对象是其所做。数系扩充中，复数i并没有比无理数根号2更特殊的地� 实际上正是如此。
数学中有个根本性的重要事实：数学论证中的每一步都可以不断地分解成更小更清晰有据的子步骤，但是这样的过程最终会终止。原则上，最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则一步步推进，最终得到想要求证的结论。所以，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。争论在原则上必然能够解决这一事实使数学作为一个学科是独一无二的。在这里，公理系统的主要问题不是真实性，而是自洽性和有用性，即数学证明就是由特定前提能够得出特定结论，而不考虑该前提是否正确。
我不清楚这一“根本性的重要事实”在现实中的使用范围有多大，但由此可以聊一点别的问题。现实中，如果甲对事情有A观点（或说价值观），乙有B观点，并为此争执。有下面几种情况：
1、在上述的范围之外，即没有定论。
2、有定论，但是双方都没有给出足够的证据证明和反驳。
3、有定论，一方给出了足够的证据（或者反驳理由），因为表达能力导致表述不清晰而没有说服对方。
4、有定论，一方给出了足够的证据（或者反驳理由），因为对方理解不够或理解偏差导致没有被说服。第234条与这几项有关：知识量，表达能力，理解能力，对外界的认知和自我认知。其中语言本身的局限性会一定程度上影响表达和理解，认知能力是一项综合的要求很高的能力。“评论”这件事就是个很合适的例子。如果说创造更需要的是才气，那么评论更需要的就是能力。但是，无论双方是否知道有无定论，很多情况下需要陈述不少或很多证据或反驳理由，由第234条可知人与人交流的效率很低，并且可能伴随一些冲突。若考虑到一些人的利益因素等，交流会更复杂。
有的 可我认为数学也有独特的美。
数学是一门生活中处处都会应用到的学科，大到航天工程，小到每天的买菜计算，都有数学的存在。数学当然离不开数字，数字经过几世纪的变化，最后由作 文 吧古印度人发明了现在用的阿拉伯数字。我们现在研究科学，研究气象、研究武器，不管干什么，好像都离不开数学，因为好多工作都需要经过大量的计算。
有的 为了数学考试，我们要大量的刷题。 做几何问题，就想自己要计算完会得到什么样的图形呢？也是蛮有趣的。做盈亏问题，就想自己算一算是赚了还是赔了？这么一想，数学就有趣多了。
我们现在学数学，每天的作业让我们感到十分无味，但是我们在将来的岗位上肯定是会用到的。比如在设计师的岗位上，肯定会用到比例尺；在气象观测的岗位上会用到计算；如果当了数学老师，用的就更多了。这说明数学很有用。
其实我觉得数学不只是学科，更是和谐之美。在生活中，有一种数学叫黄金分割点，比如人的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，肘关节是手臂的黄金分割点。我觉得数学也存在于我们每日的游戏之中，比如杠杆原理、平衡、平移、旋转……这些都会发生在游戏之中，而这些也是数学的应用。
我们现在学的，将来要学的好多的科目中也会有数学的存在。比如物理、化学、地理，甚至语文中都有数学的影子。
学好数学更是十分重要的一步，上课要好好听老师讲的内容，认真地做好笔记，多运用学的知识，多多请教。我也是慢慢才喜欢上数学的，在空闲的时候会做一些拓展题，既复习了所学的知识内容，加深理解，并拓展新的知识内容。
数学很美，只要用心去细细品味，就能领略它的独到之美；用心细细去发现，你就能够发现它的惊奇。数学是美的，只要我们努力把数学学好，就能把它发扬，并通过不断探究，去发现新的数学知识。
说到数学课，大家一定会想到公式、定理、演草纸，一定会想到严肃、认真、紧张，可是今天我们班的数学课上却飞出阵阵欢声笑语，这是怎么回事呢？这话还得从昨天说起。
昨天放学前，数学孙老师神秘地通知我们：“明天请大家带不同容量的瓶子来上课，里边装上水，千万不要忘记了哦！”我们好奇极了，不知道老师的葫芦里要卖什么药。
好不容易盼到了数学课，同学们迫不及待地在桌上摆好大大小小的瓶子，里边分别装了水。
孙老师神气地问：“同学们有带一升水来的吗？”大家赶紧看了看瓶子上的标注，纷纷举起手来。孙老师从柜子里拿出一个方方正正的大盒子，看了看大家，笑着说：“我的这个正方体容器装满水是一升。”接着又拿出一个500毫升的量杯，请一位同学把一升水倒进去，一升水正好倒两杯，原来一升是1000毫升呀。
接着，孙老师举起一个瓶子，说：“我这里有一瓶饮料，请一位同学喝一口。”大家都争着抢着要上台做实验，我也高高举起了手。“不过有个条件，”老师卖了个关子，“这个同学喝了饮料不能咽到肚里，要吐到我的量杯里，我们看看他几口能喝到100毫升。”同学们的热情更高了，又蹦又跳，都希望老师叫自己。我特别想知道我喝的'一口水是多少，就连忙端端正正地坐在位子上，用期待的眼神急切地望着老师。孙老师看到我，微笑着请我去做这个实验。
我三步并作两步跑到台上，使劲拧开瓶盖，张开大嘴，一仰头，一口水进了我的嘴巴。老师指了指量杯，我端起量杯，小心翼翼地吐到100毫升的杯子里。“哇噻！”随着前排同学一声惊呼，我举起杯子一看，天哪，我一口就喝了100多毫升啊。同学们看着我，有的笑得前仰后合，有的笑得捂着肚子，还有的笑得流出了眼泪。我害羞得一溜烟跑回了座位，想起妈妈常说我的嘴巴看着小，其实挺有空的，不禁哈哈大笑起来。
经过这一番操作，同学们解题的劲头更足了，大家顺利解决了课本上的练习题。就这样，在我们的欢声笑语中，一节有趣的数学课不知不觉结束了，我真盼望下次数学课早点到来。
昨天数学作业上，黄老师布置的一项作业是“为小小商店做准备”。黄老师说过了作业后，全班同学都很高兴。
今天数学课一打铃，我们全班都很激动，但是黄老师第一句话是订正作业，却不是说排队。当时我们的心情就象飞飞机一样，从高空中降到了地上。订正完成后，黄老师二话不说，就两个字：“排队！”顿时，我们的“飞机”又重新飞了起来。于是黄老师叫我们的中队长——潘凌柯带我们到学校的水池边坐下，先是三四组买，一二组卖；然后，再交换过来。
我是第四组的，黄老师先要求我们去买。我看了一下，看到了金灶沐的小徵章，于是我问金灶沐怎么卖，金灶沐说：“1元5角。”于是我就给了他1元5角，拿走了那个可爱的小狗徵章。接着我又看到了潘浩天的。笔刀，我也买下了。后来，我又看到钱嘉玥的气球，我问她要多少钱，钱嘉玥说1元，于是我说：“太贵了，5角卖不卖啊？”钱嘉玥说：“不卖！”我又故意问：“那1角卖不卖？”钱嘉玥说：“也不卖！”当时我很想要那个气球，只好给了她1元钱买下了她的气球。
过了一会儿，到一二组来买，我们组来卖了，我把我的鲸鱼玩具卖给了江婉莹，把装钱的盒子卖给了张子玥，又把铅笔卖给了谁我倒是忘记了，还有橡皮卖给了谁也忘记了，刚刚从钱嘉玥那儿买的气球也被我卖出去了。最后卖出去的是二姨从塞班岛旅游带回来的当地地图，我以3元钱卖给了周柳衡，要问我为什么卖得这么贵，因为这张地图只有我有别人没有，所以要卖得贵。
不知不觉突然黄老师说：“大家安静地回班。”当时我们感到很高兴又很伤心，高兴的是我们对钱对买卖东西有了很多了解，而且这让我们在玩中学，学中玩；伤心的是，以后没有机会在课堂上买卖东西了。
我们度过了一段美好的时光。
到达北京第一站是世界公园。在那儿有许多国家的名胜古迹微缩建筑，如：埃菲尔铁塔、凯旋门、英国大本钟、美国白宫、埃及金字塔……
第二天，我迈着自豪的脚步走进了北大。在北京大学百年讲堂里，我聆听了著名教授周士渊讲课。这堂课，让我懂得了在课堂上学不到的知识，真是受益匪浅啊！后来导游又带我们参观了北大的校园。古朴的教学楼和时代感十足的图书馆相互呼应，加上博雅塔和未名湖的点缀，简直是世外桃源。假如我能在这充满书香的大学念书，那该多好！
到了第三天，我们要爬八达岭长城了，我就要成好汉了，因为我知道有一句：“不到长城非好汉！”我抬头仰望，长城就像一条巨龙在崇山峻岭之中蜿蜒盘旋。辅导员老师告诉我们，爬万里长城需要毅力，不能半途而废的。听了老师的话，我怀着激动的心情与随行的伙伴和副班长开始登长城。我们一步一步地往上爬，不时还拍上几张照。很快，我们就一连把几个烽火台抛于身后。路越来越险了，我们不得不抓紧护栏了。这时，我们想起了当时红军也是在这长城上奔波，我们顿时充满了力量，全速前进。皇天不负有心人，我们终于登完了长城，我们的衣服也被汗水湿透了。
八天，是短暂的，又是永久的。这八天带来的是在教室里八年都难以领悟的真谛：独立、自强、自尊、感恩、合作。
其实刚开始，我在上二年级的'时候，并没有觉得数学和其他科目有太大的区别，有时，数学还不及语文好，是一次经历改变了我。
那一次，我们刚上了九九乘法表着一课，老师就教我们要背诵乘法表。开始我以为没什么重要的，就留着没背，灾难终于要发生了。老师在第三天的下午，突然来了一个考试。这时我一惊，但是我并不害怕，我认为题不难。可谁知道，卷子发下来了，我的心却凉了半截，因为考卷上的题大多数只要我们背乘法表就能做对。
但是，因为我没有背乘法表，所以很多题都不会做。我就凭着自己的记忆，在搜寻，搜寻。
最后只有胡乱答一通，就交卷了。交完卷过后，我不断安慰自己，总往好的方面想。
第二天，卷子发下来了，老师叫完了我的名字后，还在后面补充了一句，“53分。”这分明是羞辱我。这也怪不得老师，因为平时我都没有下过95分，这次却不及格。当我拿到卷子后，真是无地自容，这种感觉是没有什么此能形容的，这种感觉，我想只有亲身体会才有所感触。当那节课下课以后，我没有再像以前一样出去玩，而是坐在板凳上沉思。
看完《浪潮之巅》，了解了硅谷很多公司尤其是互联网公司的沉浮，对吴军的书就非常感兴趣，看到吴军的另一本书《数学之美》，激起了很深的兴趣，所以很快把书看完了，普及了很多基础的知识的同时也启发了很多想法，感觉很爽。
我自己在交大学的是工科（虽然没怎么上过课），小学、初中、高中都是一路参加数学竞赛，名次都还不错，也因此没有参加中考、高考，一路保送，自己对数学有很深的感情，同时女朋友大学也是数学系，有点后悔的大学选了个并不感兴趣的专业（交大当时允许我随便选专业，我没有跟父母商量自己选了船舶制造）。看这本书的过程中找到了很多高中在看竞赛书的感觉，里面提到的很多概率论（不等式）、图论、数论的知识是高中数学联赛复试的重点，高中的时候已经研究的很深了，不过大学荒废了之后也忘得差不多了，书中提到的很多定理还很有亲切感
书名叫做《数学之美》，显得有些太大，毕竟更多的是吴军在google做搜索相关工作用到的数学模型的介绍与总结，提到的数学部分大多集中在概率论、图论、数论领域，所以书名太大了，可能hax说得对，也许是出版社为了卖书取得名字
不得不说吴军是一个大家，文字中能够透露出大家的气势，书中不断的穿插着各种历史上的大科学家以及科技领域的大家的小故事甚至八卦，从文字中非常能够感受到吴军是一个和他们一个层次的人（即使他自己会自谦说是一个二流的工程师之类）
书中具体的模型就不介绍了，说几点我学到的知识，能列出来的都是看完还有点印象的：
1、在互联网的世界中，信息是如何量化的，信息熵是怎么回事？有啥用？
2、搜索领域中，语言是如何统计的，尤其是如何通过概率模型进行分词
3、搜索引擎是如何工作的—网络爬虫是怎么回事儿
4、PageRank是怎么回事？为了解决什么问题？
5、密码与解密领域的数学模型，尤其提到的二战时候的各种解密的趣事儿，提到的电视剧《暗算》打算抽空看下
6、拼音输入法的数学模型
7、文本自动分类的模型
看完之后最大的感受就是：
1、数学模型巨大作用，推动着新技术的发展
2、攻城师是一个伟大的职业，能够运用这些知识转化为生产力，非常牛叉
3、书中提到了很多数学模型都是在不断的进化、改良、升级，也就是说有人不断的在做优化，会有不断更好的模型、更新的技术出现，跟得上技术的发展可能也是比较重要的，否则很多人一直在做某一点上的持续优化就没有意义了。
但同时技术很大的作用是用来解决实际问题的，书中提到的各个数学模型、各种方法都是为了解决人们的需求或者业务的需求，毕竟公司不是科学研究所，所以追求通过技术直接解决用户需求或者做成易用的工具给业务人员、运营人员来间接解决用户需求是挺重要的，可能不是技术人员觉得做到80分就可以了，而是用户、使用工具的人觉得做到80分是一个重要的衡量
提到“工具”，想到赵赵说过的一句话：“不好用就等于没有”，可能就是这个点，同时运用工具的人必须好好的运用，如果用不好甚至不用就太对不起技术了
前一阵子因兴趣研究CMUSphinx这套库的应用不得要领，就去查看了下一些语音识别的基本原理的文章，偶然碰到了数学之美。其实浪潮之巅也是因此开始看的、结果先一步看完了，毕竟一本历史书，一本介绍数学和语言处理的，难度不同
说实话，因为初中高中荒废了太多时间，我的英文和数学基础比较差，我大学的数学都是勉强修过的。一直以来数学对我是一个很恐怖的学科，也不知道为什么计算机专业对数学要求比较高。我个人就是数学分数很低，但是专业课学的还不错，唯一好点的数学科目就是离散数学吧，另外的工科数学分析和高等代数都是惨不忍睹的
看完这本书后，我发现我还真是低估了数学的作用，一个复杂的语言识别过程，用统计语言模型竟然用那么简单的数学模型就解决了，这对我的冲击很大。另一个对我影响比较大的就是余弦定理和新闻的分类。以前那些各种三角函数的变换、三角函数，各种向量，各种空间图形在我印象中就只能用于画设计图，或者搞空间物理化学等基础学科的应用上，想着“这种东西和计算机编程有什么关系？要计算角度，库里不都提供了吗？”，哪成想到改变一下思路，改变一下方法，就简单的把那么复杂的分裂问题给解决了。现在想想我当初想法还真是幼稚啊，可惜覆水难收，过去的时间已经回不来了，但至少我现在明白了数学的重要性，总能想办法弥补的。
不得不说国内的教科书还真是太死板了。很多书上，先不说没讲应用领域和这个能干吗，有些教科书连推导过程也没说明白。像我大学时候的那几本高代高数的教科书，在某一步关键的过程写一句“显而易见”，然后就莫名其妙的出现了结果，这让我们基础差的人情何以堪啊，更何况我问了那些数学好的，他们想推导出那一步也要想好久。后来换了一下同济大学版，发现同样的定理，同样的范围，就是理解起来容易了不少。果然好书和差一点的书差别真不少。所以我就在网上整理了一些好的数学书籍，等会儿就贴到文后，以后慢慢补。
"技术分为术和道两种，具体的做事方法是术，做事的原理和原则是道。这本书的目的是讲道而不是讲术。很多具体的搜索技术很快会从独门绝技到普及，再到落伍，追求术的人一辈子工作很辛苦。只有掌握了搜索的本质和精髓才能永远游刃有余。” ，然后吴军先生用搜索反作弊的例子漂亮的解释了这两种差别。我以前做过的项目里，如果出现没想过的情况，就加一个异常处理处理特殊情况，本来很简单的东西，愣是被我搞复杂了。现在想回来，那时候境界太低，连开始的本质和原理都没弄清楚，就埋头搞下去了，以后要多注意点。
我一向喜欢实用性强的方法和工具，在这书里我特别喜欢阿米特·辛格博士的那一章。吴军博士就用寥寥几页的描述中讲解了辛格博士的处理事情的方法和原则，先帮用户解决主要的问题，再决定要不要纠结在次要的部分上；要知道修改代码的所作所为，知其所以然；能用简单方法解决就用简单的，可读性很重要。
不过中间有两个部分没搞明白，最大熵模型和贝叶斯网络，没搞懂为什么能解决那些问题。贝叶斯网络还能稍微理解，少了马尔科夫链的线性约束，更自由；但最大熵模型真搞不懂为什么那么好用，以后继续研究。
总之这是一本很好的书，推荐大家读一下。
用心去发现，世界上任何东西都用它独特的美！——题记
天使的羽翼，划破青春寂寞的夜，那一群扑朔的亮星，是我多变又坚定地梦，即使他遥不可及，即使我在这方面并不优秀，但悠悠岁月，我不能忽视这珍贵的改变，毕竟，其过程夹杂着或多或少值得我永久珍藏的怀恋！
不知从何时起，不在厌倦黑板上繁琐的数学公式，不在埋怨老师布置的复杂的习题，也不知从何时起，喜欢盼望着数学老师带着课本走进教室，喜欢期待着课程表上能多有几个白色的“数”字。一切，说明我已脱离了那个对数学恨之入骨的时代！
说起这些，我不得不想起曾经那个讨厌数学甚至到恨的程度的我，曾经那个对着试卷唉声叹气的我。的确，在从前，我是一个性格古怪，没有耐性的女生，我对科学和数学提不起任何兴趣，我讨厌解了一长串的应用题和又加又除的计算题，却唯独对英语情有独钟。直到现在，我对英语的热情也丝毫不减当年。虽说我的数学成绩不怎么样，但是我算下课的时间却从来没有出错过。对练习册发脾气也是我曾经的一贯作风。升入六年级，面临着升学的。压力，我们马不停蹄的做着模拟卷，破解一道道难题带来的成就感，有一种无以名状的美好。我也对做题有了那么一点点耐心，和兴趣。
升入初中，方方面面都发生了许多变化，老师们的讲课方式也与小学有所不同。而我也终于揭穿小学时老师的谎言，记得小学时，老师总是那初中老师的严厉吓唬我们，来激励我们学习。原来传言中神圣不可侵犯的初中老师，之所以能在“严师出高徒”的教育中受到众学生的欢迎，不是因为他们有多么雄厚的师资，而在于他们能把枯燥的教案描绘的多么生动。我想我能将和数学的恩怨一笔勾销，这也是小小的一个原因吧！
现在坐在习题堆里的我，不会烦躁，不会心急，像恬恬叫我的那样，用心去做，才会发现美！没错，这次我改变的不仅仅是爱好，更是一种用心去发现的态度！
伽利略曾说过，数学是上帝用来写宇宙的文字。现在的我，没有出类拔萃的数学成绩，没有超乎常人的聪明才智，但是我欣慰这巨大的改变！无论如何，我将继续在数学——理性美的海洋中遨游，继续寻找数学的美！
数学，于我而言，是我的最爱，也是我的特长。
每一次的检测，其他学科总能令我头疼，只有数学愿意发出温暖的光，帮我照亮前方。学完了初中的数学，尤其是初三下册的内容，最令我着迷。平面几何，函数，圆都令人难以吃透，尽管如此，我依旧想要把它们纳入我的特长。
“点动成线，线动成面，面动成体”，仍记得老师讲图形时引用过的这句话。多边形是由点构成线，线再连起来的。说简单，也确实简单，有时一眼便可看透答案；说难也难，一条条线交织，令人眼花缭乱。每每遇到这方面的难题，我便请出我的特长之一——辅助线，将隐藏的条件逐个找出，再解决问题。因此，虽然只是懂了冰山一角，但在一天天的学习之中，我的数学也终于有进步。
在平面直角坐标系中，你是否有过被一条条直线、曲线绕晕在考场的经历呢？一次函数、二次函数有关的计算公式相信大家都会用，但解决问题可不只是靠这些。换句话说：数学公式只是学习数学，解决题目的第一步，仅仅只是使题目更加简单而已。在函数的海洋里遨游，我也学会了如何运用公式，如何坚定做题的初心，将函数的冰山一角纳入我的特长。
圆是第一个最简单又最完整的。图形，它没有任何棱角，而是由光滑的曲线构成的。在我的眼中，圆就像数学王国中的宰相，肚量非常的大，很多其他的知识都能和圆联系。圆其实并不难，只是一个圈，但难就难在把其它图形放在圆里，也就出现了各种题型。但圆的本质是简单的，因此，我习惯在解题时把它看得更简单，这个特长也总能使我看懂一个个圆。
爱因斯坦说过：“圆圈的里面代表我现在所学的知识，圆圈的外面仍然有无限的空白，而且随着圆愈来愈大，圆圈所接触的空白也愈来愈大。”是了，我所认为我有的特长也不过是小儿科，因此也仍需努力，努力去探索，努力去成长。
数学是我的挚友，陪我度过了近十年的光阴。
数学亦是我的良师，教会我如何辩证地思考。
数学更是我心中的暖阳，温暖着我，并为我照亮着前方。
数学，我所热爱的特长，感谢有你，青春才更加精彩！
数学，在许多人眼中，是一面无懈可击的盾牌，无法攻克；数学，是普通人无法企及的一座高峰，它高不可攀，登上顶峰的也不过寥寥数人；数学，令这些想攀上高峰的人一次次失败，它好像深渊，无尽的困难将人们想攀至顶峰的念头彻底击碎……
然而，往往在困难背后，成功的大门会向那些坚持到最后的人开启。
在我眼中，数学不是望而生畏的泰山，它是美丽的。
小数，在数字后面加上了一个点，使它变得神秘莫测。我国数学家祖冲之早在千年之前便通过计算将第一个无限不循环小数 的前7位算了出来，开辟了数学之旅的新道路。早在7000多年前，早期人类已经将整数所余化成不足为一的小数，小数不是枯燥乏味的符号，它是人类智慧的结晶！
图形，也就是专业所称的'几何，直线和曲线交织、拼接在一起，构成了一幅美丽、壮观的画卷。著名的数学王子高斯，仅用一个晚上便画出了正十七边形，更令人震惊的是这一难题已经流传了两千多年！尽管许多人以为几何只是单纯的画图、测量、求面积，但我从不这样想——那一个个规则图形呈现在面前，我心中便由衷地敬佩那些推导出图形面积、周长的数学家。几何不仅炼就了我超乎常人的空间组织能力，还磨砺着我的逻辑思维，它又怎会是人们口中的“恶魔”？
数学，乃是良师益友，不论是未知数，次方或阶乘，还是微分积分、质数合数或加减乘除，都是授人以知识的导师。尽管它是困难甚至无法攻克的，但只要不懈追求、努力，它定会敞开那扇成功之门。
数学之美，它不是单纯数字，也不是乏味的公式。他的美丽在于不断发现、探索，当你达到一定高度时，你会发现数学之中的奥秘——真的很美！
曾听一位奥数老师说过这么一句话：学数学，就犹如鱼与网；会解一道题，就犹如捕捉到了一条鱼，掌握了一种解题方法，就犹如拥有了一张网；所以，“学数学”与“学好数学”的区别就在与你是拥有了一条鱼，还是拥有了一张网。
数学，是一门非常讲究思考的课程，逻辑性很强，所以，总会让人产生错觉。
数学中的几何图形是很有趣的，每一个图形都互相依存，但也各有千秋。例如圆。计算圆的面积的公式是S=Πr2，因为半径不同，所以我们经常会犯一些错。例如，“一个半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼等于一个半径为15厘米的比萨饼”，在命题上，这道题目先迷惑大家，让人产生错觉，巧妙地运用了圆的面积公式，让人产生了一个错误的天平。
其实，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼并不等于一个半径为15厘米的比萨饼，因为半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼的'面积是S=Πr2=92Π+62Π=117Π，而半径为15厘米的比萨饼的面积是S=Πr2=152Π=225Π，所以，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼是不等于一个半径为15厘米的比萨饼的。
数学，就像一座高峰，直插云霄，刚刚开始攀登时，感觉很轻松，但我们爬得越高，山峰就变得越陡，让人感到恐惧，这时候，只有真正喜爱数学的人才会有勇气继续攀登下去，所以，站在数学的高峰上的人，都是发自内心喜欢数学的。
记住，站在峰脚的人是望不到峰顶的。
从小学一年级到现在，我上过无数堂各种各样的教课，但其中令我印象最深的，还是这个学期的第一节数学课。
“叮铃铃……”上课铃响了，不一会儿，数学老师简老师满面春风地走进教室，“同学们，这节课我们来认识圆。首先，大家在生活中都见过什么样的圆呢？”老师的话音刚落，同学们都齐刷刷地举起了右手，大家的回答五花八门：“车轮！”“时钟！”“电风扇！”……总而言之，大家见过的圆都非常多。接着简老师讲道：“好，既然同学们都见过这个圆，那么我们现在来学习一下圆的周长。大家知道周长是什么意思吗？”“知道！”同学们异口同声地回答。“周长就是绕物体一周的长度，以前大家都学习过长方形、正方形的周长，那么这个圆的周长又怎样算呢？哪位同学说一下自己的想法？”简老师问道。同学们的回答仍然是各种各样的，有的说，用一条绳子将圆边围住，在顶端标上记号，然后再把绳子解下来在尺子上量一量，就能知道圆的周长；有的说把剪好的圆放在尺子上滚动一圈，再看度数，从而得出周长。简老师听了说道：“同学们的想法都很好，但这样太麻烦了，那么现在我们就一起来探究求出圆周长的方法。”接着老师拿出四个大小不一的纸圆与四根绳子，分别交给四名同学，让同学量一量圆的周长，再量一量圆的直径。大家都认真地量出了数据，老师把圆的周长与直径的数据写在黑板上。然后，老师要求大家在草稿本上算出圆的周长除以它直径的商，然后又把这个数据写在黑板上。这时大家发现：每个圆的`周长总是它直径的三倍多一点，而且都是一个无限不循环小数。简老师笑着说：“同学们，这个无限不循环小数其实是一个定值，我们把它叫作圆周率，用字母“π”表示，计算周长时通常取3.14。那么，认识了圆周率，知道了圆的周长与直径之间的关系，我们就可以求出圆的两条公式：“c=πd或c=2πr”。”同学们恍然大悟，原来圆的周长就是用圆周率乘以直径呀，真简单！大家明白了。“叮铃铃……”下课铃声响起了，同学们这节课又学会了一个新的知识：圆周率。
这节趣味横溢的数学课是多么有趣啊！使大家在实践中学习到数学，同时也让我认识到数学的奇妙、有趣，并从中爱上了数学。
数学，是一门独具美感的科目，是一种有多重美感的学科，虽然没有那么深动多趣的语言，但却是富有所有学科都比不上的精准。
数学用于生活。在建筑物的构造时便会用到数学中对称数和比例美；在玩具或许多模型的制造中也会用到数学美；在战斗时许多飞机的外视也利用到了数学类。就举个离生活最近的例子吧，例如：一个生字本当你用的时候，你会发现就连语文写字的格子纸的大小都是照着一定的比例来生产的。
数学中还有推理美，推理是一种重要的数学思维和方法。通过对本册书数学广角和数学思考的学习，可以对推理有初步的认识，并对数学的严密性和科学性有更深的体会。
数学对于一个事物的准确性的表达也是可以转换为其他形式来表示的，例如我刚刚学过的比例尺，是由“图上距离”比“实际距离”路程的1比500可以写成分数形式为1/500，可以写成比的形式1：500，还可以写成文字形式一比五百。数字也可能变得难懂比例尺也有的人
就连蕴含着博大精神的语文，也有着数学美：例如许多生僻字就富有对称美：朋、誩、囍……
数字美无处不在，无穷不尽，只要你用心就会发现，发现数学的美与乐趣。
最近看了这本《数学之美》，不得不感叹一句，可惜早已身不在起点。
我读书的时候，数学成绩一直都很好，虽然离开学校已经10多年，自觉当初的知识还是记得很多，6~7年前再考线性代数和概率论，还是得到了很高的分数。不过我也和大部分人一样，觉得数学没有太多用处，特别是高中和大学里面学的，那些三角函数，向量，大数定律，解析几何，除了在考试的题目里面用一下，平时又有什么地方可以用呢？
看了《数学之美》，惊叹于数学的浩瀚和简单，说它浩瀚，是因为它的分支涵盖了科学的方方面面，是所有科学的理论基础，说它简单，无论多复杂的问题，最后总结的数学公式都简单到只有区区几个符号和字母。
这本书介绍数学理论在互联网上的运用，平时我们在使用互联网搜索或者翻译功能的时候，时常会感叹电脑对自己的了解和它的聪明，其实背后的原理就是一个个精美的算法和大量数据的训练。那些或者熟悉或者陌生的数学知识（联合概率分布，维特比算法，期望最大化，贝叶斯网络，隐形马尔可夫链，余弦定律，etc），一步步构建了我们现在所赖以生存的网上世界。
之所以觉得自己早已身不在起点，是因为上面这些数学知识，早已经不在我的知识框架之内，就算曾经学过，也不过是囫囵吞枣一样的强记硬背，没有领会过其中的真正意义。而今天想重头在来学一次，其实已经不可能了。且不说要花费多少的精力和时间，还需要的是领悟力。而这一些，已经不是我可以简单付出的。
不像物理、化学需要复杂的实验来验证，很多数学的证明，几乎只要有一颗聪明的头脑和无数的草稿纸，可是光是这颗聪明的头脑，就可以阻拦掉很多人。有人说多读书就会聪明，我不否认，书本的确会提供很多知识，可是不同的人读同一本书也会有不同的收货，这就限制于每个人的知识框架和认知水平。就如一个数学功底好过我的人，看这本书，就会更容易理解里面的公式和推导出这些公式的其他运用点，而我，只能站在数学的门口，感叹一句，它真的好美吧。
当然，我暂时无法在实际生活中运用这些数学公式，可是书中提到的一些方法论，还是很有帮助的
1）一个产业的颠覆或者创新，大部分来自于外部的力量，比如用统计学原理做自然语言处理。
2）基础知识和基础数据是很重要性，只有足够多和足够广的数据，才可以提供有效的分析，和验证分析方法的好坏。
3）先帮用户解决80%的问题，在慢慢解决剩下的20%的问题；
4）不要等一个东西完美了，才发布；
5）简单是美，坚持选择简单的做法，这样会容易解释每一个步骤和方法背后的道理，也便于查错。
6）正确的模型也可能受噪音干扰，而显得不准确；这时不应该用一种凑合的修正方法加以弥补，而是要找到噪音的根源，从根本上修正它。
7）一个人想要在自己的领域做到世界一流，他的周围必须有非常多的一流人物。
在初中时，我的数学成绩比较不错，但我并没有过多地研究数学，只是在题海里遨游，进去了就出不来。
上了高中之后，在数学课，偶尔老师会停下而感叹一句：“美呀！”使得有些同学不禁笑了出来，我以为老师只是在活跃气氛，并未在意，偶尔也附和上一句，使得笑声更大了。
渐渐地，我发现其实数学真的很美，老师并不是在故意搞笑，只是有人不明白这其中的道理罢了，于是才笑了出来。现在我从题海里钻出来，仔细地品味数学，老师的话的确有道理。
“数学之美”并非只是老师的观点，就连中国的大数学家陈省身也支持这一观点。被世界公认的“微分几何之父”的陈省身在92岁时自费印刷了一批日历，主题就定为“数学之美”。连陈省身都要宣传，可见数学真的很美。
虽然知道数学之美，但美在何处，我只能说一点我的感受，因为我对数学的理解还远远不够深。
数学，就是研究“数”的学科，说白了，就是几个数字，没完没了的计算而已，却有无穷的妙处。就拿“杨辉三角形”来说，就是一些象一个三角形向下无限排列罢了，但它的每一行都有递变的规律，上下两行间也有很大的联系，并且左右还有一种对称美，在深一步研究，还会有更多的妙处在其中，真是美呀！
也许有人为曾感觉到数学的美，那可真是可惜了，他肯定是只顾做题而从不回头看，只觉着枯燥与乏味，然而放下手中的笔，去认识一下数学，我想他的观点会改变的。
就象有人惊叹艾菲尔铁塔的`高度一样，我惊叹于数学的美；就象有人惊叹兵马俑的壮丽一样，我惊叹于数学的美；就象有人惊叹金字塔的雄伟一样，我惊叹于数学的美。
数学之美不仅在于那美丽的王冠——哥德巴赫猜想，也不只在于那诱人德沃尔夫奖，而是无处不在的，只要细心观察，你会发现数学之美！
数学——美呀！
很多人都觉得，数学是一个太高深、太理论的学科，不接近生活，对我们大多数人来说平时也根本用不到，所以没必要去理解数学。但事情真的是这样吗？
其实不然，数学一直渗透在我们生活的各个方面，尤其是在今天这个信息时代，很多简单朴素的数学思想，能发挥一般人很难想象的巨大作用。比如，计算机处理自然语言，用到的最重要工具是统计学的思想；计算机对新闻内容的分类，依靠的是数学里的余弦定理；而电子电路的基本逻辑，则来源于仅有0和1两个数字的布尔代数。
在《数学之美》里，吴军用自己在工作中使用数学的亲身经历，为我们展现了数学的重要性，以及他对数学之美的理解。吴军是“得到”App专栏《吴军的谷歌方法论》的主理人。曾先后供职于谷歌和腾讯，是著名的自然语言处理专家和搜索专家。同时，他还是位畅销书作家，除了这本《数学之美》以外，还写过《文明之光》《智能时代》《浪潮之巅》等多本畅销书。
重复的体力劳动已经被机器取代，重复的脑力劳动也将被AI取代。
目前的算法更多的是从统计学、概率论角度来执行，其算法依靠人为设定执行，今后AI的介入，算法会趋于自我迭代、自我演化。
就整体而言机器的搜索、筛选、分析、逻辑推理等，都是基于当前情况最大概率决策。即通过算法计算下一步所有可能情况的概率分布，然后得出实现目标哪种决策成功概率最高，即为下一步的方案。
在这种环境下人最好的方式便是与机器合作，将资源分配到这些大概率事件上，当然也会有一部分人怀有赌徒心态，将资源，甚至全部资源分配到小概率事件上，幻想出现奇迹，而这件事就叫“创新”。
但“创新”才是真正的未� 题目是：“我们国家大约13亿的人口，如果我们每人每一天节俭1角钱，如果这样的`话，我国全国就节俭了约1300万元了。如果小学生从一年级到大学大约要节俭1万几千元钱了，那么这笔钱能够供给1805位失学没钱上学的小朋友，把这笔钱给那些人，那岂不是很好吗！”
看了上头的信息，我想啊：可真是人多力量大啊。突然我想起来了，人多力量大？不好的啊，因为我想了想：如果这大约13亿的人口，都浪费了1滴水，那么一共约浪费13亿滴水了，那么大家想一想13亿滴水大约有多重呢？
我做了一个小实验：在水龙头下头滴1000滴水，用称称了一下，1000滴水重200克，我又动笔算了一下。
1300000000÷1000×200=260000000（克）
260000000克=260吨
真是不算不明白，一算吓一跳呀：如果按每人一个月用了一吨水计算的话，那么260吨水就足足能够用上2年了。我去问我爸爸：“1吨水能够发多少度的电？”爸爸说：“1吨水能发100度的电。”那也就是说260吨的水能够发26000度的电了。
哇！我一下子惊呆了，260吨水竟然能够发挥这么多的作用啊！所以我们此刻要节俭所有的水，不要浪费掉一滴滴的水了，我们要养成节俭这个好习惯，不能再浪费了。
有人把数学课比作一杯白开水，枯燥无味，淡而无味。但是如果把课堂的视角放大，把细微的细节缩进去，就不会意识到兴趣的出现。
看着一节数学课，就像一场有趣的英语会议。排的节奏影响教室。
数学老师是音乐会的指挥。手里的粉笔就像一根小木棍，是一串数字符号，连成一片，奏出悠扬的曲子，耐人寻味。
钟声是音乐会的前奏。澎湃的脚步落下，就开始了。老师的行为，无形中抹上了一丝轻松。数学老师穿着休闲装，带着一丝儒雅，淡化了上课严肃的气氛。她一手拿着一个三角形，一手拿着一本数学课本，迈了一小步，走上讲台。
“上课！”“站起来！”“同学你好！”“老——师——你好——”“请坐”。趁着他的`话音未落，金属在他搬板凳的时候噼里啪啦作响，于是老师匆忙转身靠在黑板上，一边丢下几对公式，一边扭着头问学生公式的意思。这时，底下的同学摇了摇头，用叽叽喳喳的声音摇了摇头，就像古人吟诗时的韵味。
移动缓慢的`教室最终会遇到意想不到的时候。突然，老师停下粉笔，抓起三块夹板，指着公式，扔了出去：“这个公式的逆运算是怎么进行的？”。教室里顿时鸦雀无声，私下里只有几句话。学生们突然瘫痪了，他们的思维戛然而止。他们一起面面相觑，一脸茫然无知。多少秒滴答，上课突然哄堂大笑，重回正轨。教室里的小花絮给音乐会增添了许多欢乐和趣味。
然后，老师在黑板上拿出几道数学题，让学生解决。“谁愿意试一试？”“我！我将。我想要这个问题。我要那个问题……”突然教室沸腾了，波涛汹涌。握手使视线迷失方向，跳动的声音模糊了节奏。另一方面，数学老师伸着脖子摇晃着身体，寻找合适的人来完成答案。最后交了六个同学回答问题。有人扔粉笔，轻松的挥了挥，然后得意的走了；有的人搔耳朵，绞尽脑汁，粉笔就是“挣扎”；有些人别无选择，只能把粉笔在黑板上拧几下。自然有几个开心和难过的场景：钩子和叉子在黑板上乱七八糟。
“铃铃贝尔……”是这场音乐会的结尾。“再见，同学们”和“再见，——，老——师”。过了一会，教室又沸腾了。
我第一次看到这本书是在两三年前，当时看的是电子书，虽然没太仔细看，但是第一次近距离了解到这些互联网应用背后的数学原理。
前段时间，我在小孙同学的桌上看到了《数学之美》的纸质书，就向他借来读。虽说“书非借不能读也”，但实际上借了书也没能好好读，断断续续读了有一个月才读完。
由于工作背景的缘故，吴军博士的这本书主要内容集中在语言识别和搜索领域，但这丝毫不妨碍它确实反映了很多共同的道理。我总结了几点供大家探讨。
1、 简单就是美
欧拉公式，最美的数据公式之一。
虽然在大家的眼里，数学是一门深奥的学科，但是很多数学规律却能用非常简单的公式表示出来。我想“简单却非常有用”或许就是数学之美的内涵吧。
书中作者给了很多“简单却非常有用”的例子，比如简单的布尔代数就是搜索引擎的数学基础；比如助Google一举逆袭成为搜索老大pagerank算法就是矩阵乘法迭代结合TF—IDF公式；地图导航搜索就是简单的动态规划；统计语言模型可以轻松解决看似难度、复杂度超高机器翻译、语音识别。
数学的精彩之处就在于简单的模型可以干大事。从本质上讲，数学的思维方法就是抽象与简化。简单的模型怎么来？靠的是先抽象，后简化。对于复杂的问题，往往可以通过抽象，然后用数学模型来描述它。选择了合理的模型就成功了一半。但是有了模型，往往模型看着简单，但求解比较困难。这就需要合理假设继续简化，或者说通过增加合理的假设条件来简化计算。以书上提到的马尔科夫链为例，虽然公式的求解非常困难，但是一旦加上适当的假设，问题就一下子简化了非常多。
所以，针对纷繁芜杂的现实情况，我们一定要能时刻准备着把复杂问题简单化，一定要做到大胆合理假设，尽可能的简化问题，抓住其主要矛盾，先用很小的代价解决大部分的问题，剩下的部分再分步解决。
2、 透过现象看本质
作者说到，技术分为术和道两种，具体的做事方法是术，做事的原理和原则是道。技术容易学，但也容易落伍，所以追求术的人一辈子工作很辛苦，只有掌握了道的本质和精髓才能永远游刃有余。真正做好一件事没有捷径，需要一万小时的专业训练和努力。
道是什么？道实际上就是方向，就是判断。
我想有些领导之所
举个书上的两个例子，都是关于搜索的：一个例子是搜索的本质是什么？自动下载尽可能多的网页；建立快速有效的索引；根据相关性对网页进行公平准确的排序。另一个例子是搜索引擎作弊的本质是什么？是在网页排名信号中加入了噪声，因此反作弊的关键是去除噪声。
所以，我们在工作的时候，要善于理解事物的原理与本质。要先回答是什么、为什么？最后才是怎么做。再比如，在学习某个软件或某项技术时，就需要先掌握它的工作原理与工作机制，以便于我们判断其适用的场景和不适用的场景，而不是先去熟悉怎么用它。
3、循序渐进、逐步演化
书上对自然语言处理着墨很多。最初的自然语言处理是基于规则的句法分析，但是一段时间过后，人们发现句法分析的准确率很难提升。正当句法分析派走投无路的时候，统计语言模型出现了，而且越走越顺，很快就把句法分析派远远抛在了后面。问题就来了，那为什么最开始科学家们不直接研究统计语言模型？答案当然是不能，原因是时机还不成熟，因为统计语言模型所需要基于的大数据量的语言库还没有，大规模并行计算的能力还不够。同样的，统计语言模型就是最好的吗？当然是不尽然，科学家们现在开始研究基于深度学习的自然语言处理，相信不久的将来，语言识别、机器翻译会有另外一个质的飞跃。
我们做什么事情都不可能是一蹴而就，一步到位，想毕其功于一役的往往最后的结局都是失败的。
对我们团队而言，不管是架构规划也好、系统建设也好、管理工作也好，更是需要找准突破口，循序渐进，逐步演化。当然，我们也不能固步自封、墨守成规。
数学是人们生活中必不可缺的学科，无论是在学习中还是日常生活中买东西时，亦或是工作中制定方案时，都无法离开数学知识。它有时让人感到烦躁，有时让人感到乐趣。
数学无处不在，它常伴我们身边，在我们平常选择性地购物时，从而选择性价比高的东西。例如在A商场与B商场都分别打折促销，我们该如何选择更合理的物品时，那我们就需要在脑海中打个草稿，分别比较一下两个商店的价格，从而进行选择。
数学也曾利用在长辈们的手中，比如对称轴。在长辈们手中化身为美丽的图形，例如结婚宴上常常看到囍字，就利用了对称轴。在生活中我们也见过许多轴对称图形，既美观又有趣。
现在的大楼、建筑等都需要利用到数学，比如利用比例尺做成的楼盘模型、地图，以及骑自行车的时候用轮轴，计算米数，再比如自家的住房面积、公园面积、机场面积，还有工资计算、财务支出、日常消费等，算理非常实用，让你不吃“钱”上的亏。
在一开始学习数学时，在算术方面可能会有些吃力，考试之前又会感到特别烦躁，但是你只要多做口算练习题，让口算成了自己最拿手的本领时，你再去理解答题、解奥数题等，你就发现学数学非常轻松，甚至有些有趣，这一步完成之后，成绩就提升了不少。
数学在生活中实用性最多，涉及广泛。同时在万众瞩目之下的俄乌战争，也各方面涉及到了数学，如作战方案等。数学之广泛，用途无尽，我们一定要学好数学。
近来，我通过中国大学MOOC的慕课《数学建模》获悉一部叫《牛津通识读本》的新出版科普系列。同时购入的有六本——《数学》《法律》《佛学概论》等。由于告知该书的慕课是数学课，我首先阅读的是《数学》。
令我意外的是，本系列的书每本篇幅都短小精悍得让人愉悦（英文类书系列名就叫A Very ShortIntroduction）。就这本16开大小的《数学》中，有实际内容的只100页左右，剩下的有数十多页附注/答疑，与及100多页的英文原稿（原书作者高尔斯是英国学者）。本书内容质量非常高，并未使『西方当代学科科普』这个标签失色。再考虑到其篇幅如此短小，看来，以后为非理工科班出身的青年们推荐数学科普书，就不必只记得伊恩·斯图尔特与马丁·加德纳了。
虽然这是数学科普，但作者可深知读者心。西方作者所著的数学科普，一向都很能熟练地脱公式脱符号讲问题。与同类书籍比较之下，本书还有个小小的特点：其章节叙述顺序，既不硬从数学史（人类认知史）的流程，也不完全顺应个体认知心理学（教育学）的顺序。开篇破题他选的议题是『数学模型』，非数学专业学生最能适应的一种破题点；然后第二章紧紧承接主题『模型化』，开谈『抽象化』。这个过程的叙述行云流水。我感觉作者很懂怎样说该说的、省去不必说的、跳过不能说的。
第二章《数与抽象》中，作者在引入复数时，首先不能免俗地做了其他科普书差不多的工作：—1的开平方根是复数的定义blabla；然后，他将议题转入更接近上游本质的、但也许常人可能也会想过的问题：形式与实在的关系。
不是说『—1的开平方根』是复数单位i吗？但似乎有两个数的平方等于—1啊（也即i与—i），到底哪个才是正宗的『复数单位』？如果说i是嘛，那么凭什么—i不是？给我讲清楚啊——对吧？我猜，每个人在其漫长的人生中，都曾经想问过这类问题吧：『为嘛数变量用abc、角变量用αβγ』『为嘛求导符用的是一个点』『为嘛积分符像条蛇』『为嘛积分式里有个d』诸如此类。这些问题并不无聊也不白痴，只是常人很难给出有意义的回答而已；它们中的每个往往都蕴含着16世纪数学大师们的智慧精华。当然，本书没有解答所有这类奇离古怪的问题（这不是《十万个为什么》）。在本书里，作者做的是教授课间做的那种事——随便跟好奇的学生聊聊天，证明过程少说了个『在这个条件下』待会再补上。上面提到的『i与—i哪个才是复数单位』这个议题，这段简短的讨论，同时也扮演了下一章《证明》的引子这个角色。
进度到第三章《证明》结束之后，对读者而言，或许就只剩一个小时的阅读时间而已了。后面的章节，议题越来越抽象（空间、维度、距离、无穷等），正要抵达最有趣的部分（集合论）时，突然话锋一转，谈起了与抽象几乎相对的另一端：计算理论与数论；然后，本书的主体竟在此突然收官。看来，作者多多少少还保持了清醒，未过度狂热，未打算将每个有趣的命题都灌到读者脑里。在我看来，那种大杂烩式科普其实是很不人道的。大家和我一样都读过一遍又一遍的七桥问题与雪花曲线，没必要再来一次了。这些老生常谈的话题，在本书里各只占了一页的篇幅。太好了。
语文有它的语言美和表述美，英语有它的发音美与句式美。那么数学的美是什么呢？今天我就带着这个问题，去探索数学的美，
数学的美在于它的形态多变，与神密莫测。有的人说：“数学是奇怪优美的几何图形。”有的人还说：“数学就是纸张上的算式。”这些都是，但又不完全是。就拿圆周率来说吧，它是一个无限不循环小数，有了它和半径，我们才可以计算圆的面积，它永远计算不到头是神密的，这就是数学，我们离不开它。
数学的。美还来源于生活。我们的生活中，无处没有数学。如：我们买动西时，叔叔阿姨们买卖物品，计算价格会运用数学，这时数学最普遍和广泛第运用。还有我们出行都会骑第自行车，车把和车座间会形成一个三角形，这是在利用三角形第稳定性，这种运用生活中无处不在。在我们玩耍时，数学也会在我不注意时到来。如：踢足球、投篮球时，会计算角度，如何做到更加精确地射门，得分。
数学的美还源自于它的神奇。比如：比例尺。他们可以把任何东西、事物，探照比例扩大缩小。就如他它可以把我国九百六十万平方公里的大好河山缩到一张只有一米多的纸上，让人一览无余。
数学得美在语文中也会体现。语文中就有许许多多的包含数字的词语与诗句如：十全十美、一心一意、七上八下等，还有像“洛阳亲友如相问，一片冰心在玉壶”“一片两片三四片，五片六片七八片——”这样的诗句，正因为这些数字的参与让这些词句更加生动。
数学的美还在于他它的用途的广泛。许多制造业，如果没有了数学都就会变得无法运作。如：直制作机器的过程中，会用到许许多多精细的零件，这时就需要用到数学，计算它的体积、角度，长短等等，从而把它制作出来。精确有如机器人，人工智能的运作也离不开数学。人工智能的运作需要数学中的算法。而没有了数学，就不会有算法，就更不会有人工智能了，而人工智能在生产与工程上又大大提升了我们技术地进步。这样一想数学又与我们近了一步。
人体中也有着关于数学的奇妙之处。黄金分割比大家都不陌生吧。人身上的肚脐眼就是人身上的黄金分割点。我们头于肚脐眼之间的距离去除我们的身高，结果越靠近零点六二八说明身材越好，这也是选择服装模特的一个标准。
这一切都是数学，数学是奇妙的，美丽的，令人啄磨不透的。我们要去发现数学的美，发扬数学的美。
在看吴军的《数学之美》之前，我并没有看过他写的《浪潮之巅》、《文明之光》等书，但是他主理的得到专栏《硅谷来信》已经听了很久，对吴军其人颇为了解——本硕毕业于清华大学，然后在约翰霍普金斯大学攻读博士，02年、10年先后在谷歌和腾讯任职，是著名的自然语言处理和搜索专家，现在主业是硅谷风险投资。他的专栏宣传标语是“像时代领航者一样思考”，吴军也确实具有“时代领航者”那样的视野和见识，除了专业领域之外，对于日常生活和学习、职业发展也有不俗的见解。
《数学之美》最初是吴军做谷歌研究员时，在谷歌黑板报上撰写的一系列文章。虽然谷歌黑板报的本意是让吴军从一个科学家的角度介绍一下谷歌的技术，但是他却更希望“让做工程的年轻人看到在信息技术行业做事情的正确方法”——因为吴军刚到谷歌时，发现谷歌早期的一些算法根本没有系统的模型和理论基础，而是用“凑”的方法解决问题，工程水平低下。国内这种情况就更加泛滥了。
后来，吴军又将这一系列博客几乎重写了一遍，写成了《数学之美》，希望它能向非IT行业的从业人员普及一些IT领域的数学知识，能成为茶余饭后消遣的科普读物。“世界上最好的学者总是有办法深入浅出地把大道理讲给外行听，而不是故弄玄虚地把简单的问题复杂化”，因此吴军尽力以伽莫夫（《从一到无穷大》作者）、霍金为榜样，力图将数学之美展示给所有普通读者。
由于我学习过概率论、数理统计、数据结构，整本书看下来，除了某些章节后的“延伸阅读”和马尔可夫链等内容外，其他都是可以看懂的。其实看不懂的部分主要是在用数学推理证明文中的论点，即使不看也不会影响阅读体验。
吴军在扉页讲道：“数学之美，首先在于其内容或许复杂而深奥，但形式常常很简单。同时，数学之美还在于数学原理的通用性和普遍性——数学上的一点突破，可以带动很多领域和行业的进步。”
我高中时曾因为数学的应用不明确而对其抱有偏见，直到大学接触到了数学建模。同样，这本书中讲到了许多数学在信息技术工程领域的应用，搭建了数学与应用之间的桥梁。
书中最令人印象深刻的例子就是通信。人与人之间的交流，也算是广义上的通信，因此通信与我们的生活息息相关。而数学在通信中的应用非常普遍，因为从电报、电话、电视到互联网，这些现代通信都遵从着信息论的规律，而整个信息论的基础就是数学。不仅如此，整个人类的自然语言和文字的起源背后，都受到数学规律的支配——因为数字和文字、自然语言一样，都是信息的载体；语言和数学产生的目的都是为了记录和传播信息。
一个典型的通信系统是这样的：发送者（人或者机器）发送信息时，需要采用一种能在媒体中（比如空气、电线）传播的信号，比如语音或者电话线的调制信号，这个过程是广义的`编码。然后通过媒体传播到接收方，这个过程是信道传输。在接收方，接收者（人或者机器）根据事先约定好的方法，将这些信号还原成发送者的信息，这个过程是广义上的解码。
我们平时说话时，大脑就是一个信息源，声带、空气就是如电线、光缆般的信道，听众的耳朵就是接收器，而声音就是传送的信号。根据声学信号推测说话者的意思，就是语音识别。
语言实质上是一套编码、解码的规则。从字（字母）到词的构词法是词的编码规则，这套规则是完备的（有限且封闭的集合）；从词到句的语法是语言的编码规则，这套规则是不完备的（无限和开放的集合）——任何语言都有语法覆盖不到的地方。
正是由于语法是不完备的规则，所以在自然语言处理的研究当中，基于规则的方法走向了一条死路。随着计算机性能和可用数据量的增加，基于统计的方法已经被广泛运用到自然语言处理中。书的第2章到第7章，围绕自然语言处理的统计学模型，讲述得深入浅出，而且对科学界的许多大师级人物和他们的贡献都做了介绍。
另一个绝妙的应用案例，是第14章《余弦定理和新闻的分类》。我们在高中都学过用余弦定理判断两个向量之间的夹角大小，然而不知道这样做有什么实际意义。如果当时我们的老师能举出文本分�
如果由人来做新闻分类，人一定会先把文章读懂。但是计算机没有智能，根本读不懂新闻，它只拥有强大的计算能力。这就要求我们把文字组成的新闻变成一组可以计算的数字，然后设计一个算法，算出任意两篇新闻的相似性。
新闻传递信息，而词是信息的载体，“同一类新闻用词都是相似的，不同类的新闻用词各不相同”。当剔除掉“的、地、得”和“之乎者也”那样的助词和虚词之后，对新闻中剩下的实词，计算出每个词的出现频率（实际上更为复杂，因为只是一篇读书笔记，我就简化成“出现频率”了），再按照词在词汇表中出现的顺序，将这些频率值依次排列，就得到了这篇新闻的特征向量。
如果词汇表中的某个词在新闻中没有出现，对应的频率值为0。如果词汇表总共有64000个词，就会得到一个64000维的特征向量，向量中每一个维度的大小代表每个词对这篇新闻主题的贡献。新闻就这样，从文字变成了数字。
一篇10000字的文本，它的特征向量各个维度的数值普遍比一篇500字的文本要大，因此单纯比较各个维度的大小没有太大意义。但是，向量的方向却有很大的意义。如果两个向量的方向基本一致，说明它们的新闻用词比例基本一致。
因此，可以通过余弦定理计算两个特征向量之间的夹角，判断对应的新闻主题的接近程度。在真实的文本分类聚合过程中，需要自底向上不断合并，合并的过程中类别越来越少，而每个类越来越大。
另外值得一提的是，这项研究的动机很有意思。当时某个国际会议需要把提交上来的几百篇论文交给各个专家评审，把每个研究方向的论文交给这个方向最有权威的专家。作为会议程序委员会主席的雅让斯基教授为了偷懒，就想了这个将论文自动分类的方法，由他的学生弗洛里安很快实现了。
考虑到多次迭代的计算量，后文又介绍了矩阵奇异值分解的方法，将计算量缩小到1/6。
此外，书中还介绍了搜索引擎算法、拼音输入法等应用背后的数学模型。第19章《谈谈数学模型的重要性》中用托勒密的地心说模型（大圆套小圆）举例，讲：“正确的数学模型在科学和工程中至关重要，而发现正确模型的途径往往是曲折的。正确的模型在形式上通常是简单的。”
其实这本书中，除了IT领域的数学应用之外，还有许多值得深挖的地方。看书的过程中，我有时会突然从书中的观点联想到其他地方看过的观点。比如讲信息和情报时说到斯大林在中苏边界的60万大军不敢轻易调到欧洲战场，就联系到《日本大败局》里日本明知必败却执意南下进攻，偷袭珍珠港；比如讲信息论中“冗余度”的概念时，联系到罗胖“冗余度大是优势，信息传播效率反而高”的看法；讲到数学模型的重要性时，想到黎曼的非欧几何对相对论、超空间研究的重大意义……
其实大多情况下，看书只是用来怡情、消遣的手段，和打牌、玩游戏本质上是一样的。读书的过程中经常会灵光乍现，这就是读书的乐趣。