一、等差数列
1、定义
注：“从第二项起”及
“同一常数”用红色粉笔标注
二、等差数列的通项公式
（一）例题与练习
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件； f
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1—an=d （n≥1） ；h4z+0"6vG
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
3。 0，0，0，0，0，0，……。； √ d=0
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差0，第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想： a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+（n—1）d
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1） 当n=1时，（1）也成立， 所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。 对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用 同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 是一个实际建模问题 建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点） 设置此题的目的： 1。加强同学们对应用题的综合分析能力， 2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣； 3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法 （四）反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。 3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1。等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题 （六）布置作业 必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题 选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 五、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 教学目标 1、通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题； 2、利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3、通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣。 教学重点，难点 教学重点是通项公式的认识； 教学难点是对公式的灵活运用． 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑。 教学方法 研探式。 教学过程（） 一。复习提问 前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？ 等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用。 二。主体设计 通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）。找学生试举一例如：“已知等差数列 中，首项 ，公差 ，求 。”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上。 1、方程思想的运用 （1）已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第 项。 （2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差 （3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量。 2、基本量方法的使用 （1）已知等差数列 中， ，求 的值。 （2）已知等差数列 中， ， 求 。 若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题。解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量。 教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）。 如：已知等差数列 中， … 由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题 （3）已知等差数列 中， 求 ； ； ； ；…。 类似的还有 （4）已知等差数列 中， 求 的值。 以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3、研究等差数列的单调性，考察 随项数 的变化规律，着重考虑 的情况。 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果，这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的， 4、研究项的符号 这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作。可配备的题目如 （1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？ （2）等差数列 从第 项起以后每项均为负数。 三。小结 1、 用方程思想认识等差数列通项公式； 2、 用函数思想解决等差数列问题。 [教学目标] 1、知识与技能目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解 等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。 2、过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。 3、情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 [教学重难点] 1、教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。 2、教学难点： （1）对等差数列中“等差”两字的把握； （2）等差数列通项公式的推导。 [教学过程] 一。课题引入 创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子） （1）、在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： 1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗？判断的依据是什么呢？ （2）、通常情况下，从地面到11km的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。 （3） 1，4，7，10，（ ），16，… （4） 2，0，-2，-4，-6，（ ），… 它们共同的规律是？ 从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。 我们把有这一特点的数列叫做等差数列。 二、新课探究 （一）等差数列的定义 1、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 （1）定义中的关健词有哪些？ （2）公差d是哪两个数的差？ 2、等差数列定义的数学表达式： 试一试：它们是等差数列吗？ （1） 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10… （2） 5，5，5，5，5，5，… （3） -1，-3，-5，-7，-9,… （4） 数列{an}，若an+1-an=3 3、等差中顶定义 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列： （1）、2 ，（ ) ，4 （2）、-12,（ ） ，0 （ 3 ） a ，( ），b 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。 （二）等差数列的通项公式 探究1:等差数列的通项公式（求法一） 如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示？ 呢？ 根据等差数列的定义可得： ， ， ，…。 所以： ， ， ， …… 由此得 ， 因此等差数列的通项公式就是: ， 探究2:等差数列的通项公式（求法二） 根据等差数列的定义可得： …… 将以上 -1个式子相加得等差数列的通项公式就是: ， 三、应用与探索 例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。 （2） 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？ （2）、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得 成立，实质上是要求方程 的正整数解。 例2、在等差数列中，已知 =10, =31，求首项 与公差d. 解：由 ，得 。 在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中，对an,a1,n,d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量，这是一种方程的思想。 巩固练习 1、 等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1,则a =（ ）。 A. 1 B. -1 C. -2 D. 22.一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。四、小结 1．等差数列的通项公式: 公差 ； 2、 等差数列的计算问题，通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量； 3、 判断一个数列是否为等差数列只需看 是否为常数即可； 4、 利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题。 五、作业： 1、必做题：课本第40页 习题2.2 第1，3，5题 2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3++100= 高斯说：“请同学们预习下一节：等差数列的前N项和。” [教学目标] 1、知识与技能目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。 2、过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。 3、情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 [教学重难点] 1、教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。 2、教学难点： （1）对等差数列中“等差”两字的把握； （2）等差数列通项公式的推导。 [教学过程] 一。课题引入 创设情境引入课题：（这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子） 二、新课探究 （一）等差数列的定义 1、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 （1）定义中的关健词有哪些？ （2）公差d是哪两个数的差？ （二）等差数列的通项公式 探究1:等差数列的通项公式（求法一） 如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示？呢？ 根据等差数列的定义可得： 因此等差数列的通项公式就是:， 探究2:等差数列的通项公式（求法二） 根据等差数列的定义可得： 将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:， 三、应用与探索 例1、(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。 （2）等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401? （2）、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。 例2、在等差数列中，已知=10,=31，求首项与公差d. 解：由，得。 在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中，对an,a1,n,d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量，这是一种方程的思想。 巩固练习 1、等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1,则a=()。 2、一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。 四、小结 1、等差数列的通项公式: 公差； 2、等差数列的计算问题，通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量； 3、判断一个数列是否为等差数列只需看是否为常数即可； 4、利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题。 五、作业： 1、必做题：课本第40页习题2.2第1，3，5题 2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3+？?？+100= 一、教材分析 1、教学目标： A．理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； B．培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 C 通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 2、教学重点和难点 ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的。推导过程及应用。用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。 二、教法分析 采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。 (一)复习引入： 1、全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是c）分别是 21，22，23，24，25， 2、某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。 3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。 共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。 (二) 新课探究 1、给出等差数列的概念： 如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③公差可以是正数、负数，也可以是0。 2、推导等差数列的通项公式 若等差数列{an }的首项是 ，公差是d, 则据其定义可得： - =d 即： = +d – =d 即： = +d = +2d – =d 即： = +d = +3d 进而归纳出等差数列的通项公式： = +(n-1)d 此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： – =d – =d – =d – =d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d 当n=1时，上面等式两边均为 ，即等式也是成立的，这表明当n∈ 时上面公式都成立，因此它就是等差数列{an }的通项公式。 接着举例说明：若一个等差数列｛ ｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的 、d、n、 这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式 例2 在等差数列｛an｝中，已知 =10， =31，求首项 与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 (四)反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、若数列{ } 是等差数列，若 = ，（为常数）试证明：数列{ }是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1、等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2、等差数列的通项公式 = +(n-1) d会知三求一 (六) 布置作业 必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题 选做题：已知等差数列{ }的首项 = -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 四、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 教学目标 知识与技能目标：理解等差数列的定义；会根据等差数列的通项公式求某一项的值；会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。 过程与方法目标：通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。 情感、态度、价值观目标：培养学生的逻辑推理能力；培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。 教学重点：会求等差数列的通项公式。 教学难点：等差数列的通项公式的推导。 教学准备：课件 教学过程： 一、创设情境，引入课题 如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面 一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1 支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的 铅笔支数组成数列：1，2，3，4，…… ②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列： 38，40，42，44，46，…… ③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5. 师生互动，探索新知 教师：请同学们仔细观察，你发现这三组数列有什么变化规律？ 生：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ； 数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ； 数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ； [设计说明：采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度，增强学生学好数学的信心] 教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。 提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？ 学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 教师：这样我们就得到了等差数列的定义。 <一>等差数列的定义：如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为： 。 基础训练：1、上面数列①的公差d= ； 数列②的公差d= ； 数列③的公差d= [设计说明：有利于学生扫除语言与符号转换的障碍] 2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。 6，10，14，18，22，……；(2)9，8，7，6，5，4，3，2;(3)3，3，3，3，3，3;(4)1，0，1，0，1，0，1，0. 提出问题2：任何一个数列一定是等差数列吗？如果是等差数列，公差一定是正数吗？ 师生讨论得出结论： 、一个数列是等差数列必须具有这样的特点： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）等差数列的公差d可能是正数、负数、零。 [设计说明：从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等] 提出问题3：等差数列 的公差d的数学表达式为： ， 揭示了求公差d可以用哪些式子表示？ 师生共同活动： 等， 变式： 提出问题4：如果等差数列 只知道首项 ，公差d，那么这个数列的其他项如何表示？ 师生共同活动： …， [设计说明：问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式] <二>等差数列的通项公式： 【教学目标】 1．知识与技能 （1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： （2）账务等差数列的通项公式及其推导过程： （3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2、过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3、情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念； ②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义； ②等差数列的通项公式的推导过程． 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展． 【设计思路】 1．教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？ 2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？ 3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？ 教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数． 学生： 1：0，5，10，15，20，25，…． 2：18，15．5，13，10．5，8，5．5． 3:10072，10144，10216，10288，10360. （设置意图：从实例引入，实质是给出了等差数列的现实背景，目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型。通过分析，由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力。 二：观察归纳，形成定义 ①0，5，10，15，20，25，…． ②18，15．5，13，10．5，8，5．5． ③10072，10144，10216，10288，10360. 思考1上述数列有什么共同特点？ 思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？ 思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？ 教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。 学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。 教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。 （设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。） 三：举一反三，巩固定义 1、判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d。 (1)1，1，1，1，1; (2)1，0，1，0，1; (3)2，1，0，-1，-2; (4)4，7，10，13，16. 教师出示题目，学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题。 注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 。 （设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）。 2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？ （设计意图：强化等差数列的证明定义法） 四：利用定义，导出通项 1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？ 2、已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？ 教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示。根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法。 （设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。鼓励学生自主解答，培养学生运算能力） 五：应用通项，解决问题 1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项？如果是，是第几项？ 2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an。 3求等差数列 3，7，11，…的第4项和第10项 教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况。 学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式 （设计意图：主要是熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系。初步认识“基本量法”求解等差数列问题。） 六：反馈练习：教材13页练习1 七：归纳总结： 1、一个定义： 等差数列的定义及定义表达式 2、一个公式： 等差数列的通项公式 3、二个应用： 定义和通项公式的应用 教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充 （设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念。） 【设计反思】 本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣。在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。 教学目标： （1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； （2）利用等差数列的通项公式能由a1,d,n,an“知三求一”，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； （3）通过作等差数列的图像，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列的通项公式应用，渗透方程思想。 教学重、难点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。 知识结构：一般数列定义通项公式法 递推公式法 等差数列表示法应用 图示法 性质列举法 教学过程： （一）创设情境： 1．观察下列数列： 1，2，3，4，……；（军训时某排同学报数）① 10000，9000，8000，7000，……；（温州市房价平均每月每平方下跌的价位）② 2，2，2，2，……；（坐38路公交车的车费）③ 问题：上述三个数列有什么共同特点？（学生会发现很多规律，如都是整数，再举几个非整数等差数列例子让学生观察） 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 引出等差数列。 （二）新课讲解： 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 问题： （a）能否用数学符号语言描述等差数列的定义？ 用递推公式表示为或． (b)例1：观察下列数列是否是等差数列： （1）1，-1，1，-1，… (2)1,2,4,6,8,10,… 意在强调定义中“同一个常数” (c)例2：求上述三个数列的公差；公差d可取哪些值？d>0，d=0,d<0时，数列有什么特点（d有不同的分类，如按整数分数分类，再举几个等差数列的例子观察d的分类对数列的影响） 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。 例3：求等差数列13，8，3，-2，…的第5项。第89项呢？ 放手让学生利用各种方法求a89，从中找出合适的方法，如利用不完全归纳法或累加法，然后引出求一般等差数列的通项公式。 2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求． （1）由递推公式利用用不完全归纳法得出 由等差数列的定义：，，，…… ∴，，，…… 所以，该等差数列的通项公式：． （验证n=1时成立）。 这种由特殊到一般的推导方法，不能代替严格证明。要用数学归纳法证明的。 （2）累加法求等差数列的通项公式 让学生体验推导过程。（验证n=1时成立） 3．例题及练习： 应用等差数列的通项公式 追问：（1）-232是否为例3等差数列中的项？若是，是第几项？ （2）此数列中有多少项属于区间[-100，0]？ 法一：求出a1,d,借助等差数列的通项公式求a20。 法二：求出d，a20=a5+15d=a12+8d 在例4基础上，启发学生猜想证明 练习： 梯子的最高一级宽31cm，最低一级宽119cm,中间还有3级，各级的宽度成等差数列，请计算中间各级的宽度。 观察图像特征。 思考：an是关于n的一次式，是数列{an}为等差数列的什么条件？ 课后反思：这节课的重点是等差数列定义和通项公式概念的理解，而不是公式的应用，有些应试教育的味道。有时抢学生的回答，没有真正放手让学生的思维发展，学生活动太少，课堂氛围不好。学生对问题的反应出乎设计的意料时，应该顺着学生的思维发展。 一、知识与技能 1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列； 2、正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。 二、过程与方法 1、通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力； 2、通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性。 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 教学过程 导入新课 师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法。这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些数列的例子：（课本P41页的4个例子） (1)0，5，10，15，20，25，…； (2)48，53，58，63，…； (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…； (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…。 请你们来写出上述四个数列的第7项。 生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510。 师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢？以第二个数列为例来说一说。 生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78。 师：说得很有道理！我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征。 生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数。 师：作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒。 师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列。 这就是我们这节课要研究的内容。 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列{an}，若an-a n-1=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差。 师：定义中的关键字是什么？（学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环。因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力） 生：从“第二项起”和“同一个常数”。 师：：很好！ 师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…。 师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考。 ［合作探究］ 等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么？ 生：a2-a1=d,即a2=a1+d. 师：对，继续说下去！ 生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; …… 师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的。通项公式吗？ 生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 师：很好！这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了。需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗？ 生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用。证明过程是这样的： 因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…，an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 师：太好了！真是活学活用啊！这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了。 ［教师：精讲］ 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.（这是变通的通项公式） 由此我们还可以得到。 ［例题剖析］ 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 师：这个等差数列的首项和公差分别是什么？你能求出它的第20项吗？ 生：1这题太简单了！首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 师：好！下面我们来看看第（2）小题怎么做。 生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1)。 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之，得n=100，即-401是这个数列的第100项。 师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程（独立的量有三个）。 说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题。这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立。 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么？ 生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数。 师：说得对，请你来求解。 生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数， 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 师：这里要重点说明的是： （1）若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…。 （2）若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. （3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数），称其为第3通项公式。课堂练习 （1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙。 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+（n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*）。∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式。 （2）求等差数列10，8，6，…的第20项。 解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性。 (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数。 解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项。 (4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。 解：由题意可知a1=0，，因而此数列的通项公式为。 令，解得。因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项。 课堂小结 师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？（让学生：反思、归纳、总结，这样来培养学生：的概括能力、表达能力） 生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2)；其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1)。 《等差数列》教案设计 授课教师 授课班级 课 题 3.2.1等差数列(一) 课型 新授课 教学目标 知识目标 等差数列的定义。 等差数列的通项公式。 能力目标 明确等差数列的定义。 掌握等差数列的通项公式，并能运用其解决问题。 情感目标 培养学生的观察能力。 进一步提高学生的推理、归纳能力。 培养学生的应用意识。 教学重点 等差数列的定义的理解和掌握。 等差数列的通项公式的推导和应用。 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用。 教学过程 教学环节和教学内容 设计意图 【复习回顾】（2分钟） 数列的定义以及数列的通项公式和递推公式。 【引入】（3分钟） 某人要用彩灯装饰圣诞树，这个人做事喜欢按一定的规律去做，他在圣诞树的顶尖装上1个彩灯，在第一层装上4个，第二层装上7个，第三层装上10个，第四层装上13个。如果有第五层，你能猜得出他要装上多少个彩灯吗？他的规律是怎样的？ 你能根据规律在( )内填上合适的数吗？ （1)1， 4， 7，10，13，( ） （2)21， 21.5， 22， ( ）， 23， 23.5，… （3)8，( ）， 2， -1， -4， … （4)-7， -11， -15， ( ）， -23 共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这样的数列叫做等差数列。 【讲授新课】（16分钟） 一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 用符号表示： 教师活动：分析定义，强调关键的地方，帮助学生理解和掌握。 问题：1.数列(1)(2)(3)(4)的公差分别是多少？ 2、(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10 (6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差数列吗？ 3、求等差数列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100项。 师生一起讨论回答。 二、等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： 由此归纳等差数列的通项公式可得： ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 思考：已知等差数列的第m项 和公差d，这个等差数列的通项公式是？答： 【例题讲解】（8分钟）高中等差数列的教学设计 篇2
高中等差数列的教学设计 篇3
数学等差数列教案 篇4
数学等差数列教案 篇5
等差数列教案 篇6
高中等差数列的教学设计 篇7
高中等差数列的教学设计 篇8
高中等差数列的教学设计 篇9
等差数列教案 篇10