讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性。
教学目标：
通过实例，理解幂函数的概念；能区分指数函数与幂函数；会用待定系数法求幂函数的解析式。
教学重难点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些特征。
难点 指数函数与幂函数的区别和幂函数解析式的求解。
教学方法与手段：
1、采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性。
2、利用投影仪及计算机辅助教学。
教学过程：
函数的完美追求：对于式子 ，
如果 一定，N随 的变化而变化，我们建立了指数函数 ；
如果 一定， 随N的变化而变化，我们建立了对数函数 。
设想：如果 一定，N随 的变化而变化，是不是也应该确定一个函数呢？
创设情境
请大家看以下问题：
思考：以上问题中的函数 有什么共同特征？
引导学生分析归纳概括得出：(1)都是以自变量 x为底数；(2)指数为常数；(3)自变量x前的系数为1;(4)只有一项。上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数。
探究新知
一、幂函数的定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。
中 前面的系数是1，后面没有其它项。
小试牛刀
判断下列函数是否为幂函数：
（1） ，
思考：幂函数 与指数函数 有什么区别？
二、幂函数与指数函数的对比
1、教学目标
知识目标：
（1）掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
情感目标：
（1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法分析问题、解决问题的能力。
2、教学重点：从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探索发现法和多媒体教学
4、教学过程：
问题情境
问题1写出下列y关于x的函数解析式：
①正方形边长x、面积y
②正方体棱长x、体积y
③正方形面积x、边长y
④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y
⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s
问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解
幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别下列函数中有几个幂函数？
①y=②y=2x2
我们了解了幂函数的概念以后我们一起来研究幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法研究这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起研究了哪些性质呢？（学生讨论，教师引导）
（引发学生作图研究函数性质的兴趣。函数单调性的判断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。）
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？
（学生作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。）
问题4我们看到，这些函数在第一象限都有图象，所以我们就先来研究幂函数在上的性质。请同学们考虑一下有哪些共性呢？（学生回答）
归纳总结幂函数的性质：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升，函数在区间上是单调增函数。
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用
巩固练习：例1写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x②y=x③y=x。（板书一题，其他学生回答并小结）
感受理解例2：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：
①0.75，0.76；
②（—0.95），（—0.96）；
③0.31，0.31
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小
巩固提高例3、幂函数y=（m—3m—3）x在区间上是减函数，求m的值。
（三）小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？幂函数的图象和形状就可能发生很大的变化。我们今天主要研究了幂函数在第一象限的性质。
一。教学目标
1、知识技能：了解幂函数定义，掌握一些常见幂函数的图像及性质和一般幂函数第一象限内图像特点
2、过程与方法：通过形式来定义幂函数，比较幂函数和指数函数得出其特有的形式特点，观察图像归纳总结出其函数性质，数形结合找规律
3、情感、态度和价值观：函数图像直接反应函数性质，同样由函数性质也能大致画出其图像，对图像与性质之间的关系进行探索体会
二。重难点
重点：幂函数的定义，常见幂函数的图像和性质，一般幂函数第一象限的大致图像再利用其性质得到整体图像
难点：其一般的性质分析，再由性质得到一般图像
三。教学方法和用具
方法：归纳总结，数形结合，分析验证
用具：幻灯片，几何画板，黑板
四。教学过程
（幻灯片见附件）
1、设置问题情境，找出所得函数的共同形式，由形式给出幂函数的定义（幻灯片1?幻灯片2）（板书）
2、从形式上比较指数函数和幂函数的异同（幻灯片3）
3、利用定义的形式，判断所给函数是否是幂函数，并得出判断依据（幻灯片4）
4、画常见的三种幂函数的图像，再让学生用描点法画另两种，并用几何画板验证（幻灯片5）（几何画板）
5、用几何画板画出这五个幂函数的图像，观察图像完成书中幂函数的函数性质的表格，并分析得出更一般的结论（板书）（几何画板）
一、设计理念
注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。
注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。
注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。
另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。
二、教材分析
1、在教材中的地位与作用
幂函数在老教材中出现过，后来又删，现在又重新出现，当然两次在教材中的地位不一样，这次分量较轻，只要一课时，所以控制难度是值得注意的地方。幂函数选自必修1第2章第4节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质（定义域、值域、图像、奇偶性、单调性）研究一个函数的意识。因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。从概念到图象( )，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。
2、 教材编排与课时安排
幂函数的教学按照《教参》要求一个课时完成。 通过这一课时学习幂函数的定义，图像及性质，从而进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为后面学习其他函数作好准备。
三、学习目标与任务
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：
【知识目标】
1 了解幂函数的定义；
2 会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质；
3 初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。
【技能目标】
1 通过引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法；
2 通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣；
3 对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力；
4 运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。
【情感目标】
1 通过生活实例引出幂函数概念，体会生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣；
2 通过本节课的学习，进一步加深研究函数的规律和方法；提高学习能力；
3 养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质；
4 树立学科学，爱科学，用科学的精神。
四、 学习重点、难点
重点：幂函数的定义、图像、性质及运用
难点：幂函数图象和性质的发现过程
五、学习者特征分析
从学生思维特点来和认知结构看，前面学生已经学习指数函数与对数函数，对新函数的学习已经有了一定的经验。一方面可以把本节课与前面的指数函数与对数函数进行类比学习，但另一方面本节课分类情况多，性质归纳困难，尤其是三个函数放在一起可能产生混淆。对进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
六、教法分析
学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。 通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
七、学习环境选择与学习资源设计
【学习环境选择】
1 Web教室；2 校园网；3 Internet。
【学习资源类型】
1 课件；2 专题学习网站；3 案例库；4 题库
【学习资源内容简要说明】
这堂课的学习资源主要是《幂函数》专题学习网站，网站的内容有：学习主题、学习目标、学法指导、准备知识、重点难点、学习资源、练习测试、展示讨论、学习拓展。
八、学习情境创设
【学习情境类型】
1 真实情境；2 问题性情境；3 虚拟情境；4 其他
【学习情境设计】
课堂上创设了学生熟悉的生活情景：购买水果、骑车等生活情境图；计算正方体的面积与体积的问题情境图；还有发挥互联网的交互功能，向学生提供交流、展示作品的空间；通过相关学习资源的链接，让学生在丰富的互联网的资源中学习、探究、应用“幂函数”。
九、学习活动组织形式选择
【自主学习设计】
1 抛锚式
（1）准备知识：
写出下列y关于x的函数解析式：
①正方形边长x、面积y
②正方体棱长x、体积y
③正方形面积x、边长y
④某人骑车x秒内匀速前进了1km，骑车速度为y
⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s
（2）使用资源：
网页上的“准备知识”；网络图像：网络练习
（3）学生活动
自主进入网站课件浏览准备知识，小组讨论复习所学知识。采用网络作为评价的手段。
（4）教师活动
巡视课堂，参与学生的讨论。
2 支架式
（1）相应内容
了解本节课的“学习主题”、“学习目标”、提供“学法指导”。
（2）使用资源
网页上的“学习主题”、“学习目标”、“学法指导”和“重点难点”。
（3）学生活动
自主进入网站浏览，根据网页上的例子归纳出幂函数的一般形式，小组合作学习，互帮互助，采取网络评价。
（4）教师活动
巡视课堂，指导学生根据例子总结出幂函数的定义及其一般形式，引导学生应该注意的一些地方，并出题练习，巩固定义。
3 随机进入式
（1）相应内容
浏览学习资源、测试
（2）使用资源
网页上的“学习资源”：包括本地资源和远程链接、搜索引擎、实验工具，其中本地资源有：“学习课件”、“课外阅读、应用例谈”等栏目。还有网络练习。
（3）学生活动
自由选择喜欢的、重要的内容浏览，独立练习，然后小组交流，采取网络评价。
（4）教师活动
巡视指导，小结，评价。
【协作学习设计】
1 伙伴
（1）内容：根据几个问题情境，总结出幂函数的一般形式。
（2）使用资源：网页上的“重点难点”以及网络课件。
（3）分组情况：六人一小组。
（4）学生活动：根据网页上的例子总结出幂函数的一般形式；小组合作学习，互相帮组；网络评价。
（5）教师活动；巡视课堂，指导学生根据例子总结出幂函数的一般形式。
2 协同
（1）内容：根据幂函数的图像，总结出幂函数的性质，帮助识记这些性质。
（2）使用资源；网路课件。
（3）分组情况：六人一小组。
（4）学生活动：根据幂函数的图像找出幂函数的特有性质；小组合作学习，互帮互助。
（5）教师活动；巡视课堂，指导学生根据函数图像发现幂函数的性质。
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质。
情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
教学重点：
重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
教学程序与环节设计：
材料一：幂函数定义及其图象。
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数。
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种形式定义的函数，引导学生注意辨析。
下面我们举例学习这类函数的一些性质。
作出下列函数的图象：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律。
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性。
师生共同分析，强调画图象易犯的错误。
材料二：幂函数性质归纳。
（1)所有的幂函数在(0，+）都有定义，并且图象都过点(1，1)；
（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数。特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数。在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴。
例1、求下列函数的定义域；
例2、比较下列两个代数值的大小：
[例3]讨论函数 的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性。
练习
1、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
2、作出函数 的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明。
3、作出函数 和函数 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间。
4、用图象法解方程：
1、如图所示，曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知 分别取 四个值，则相应图象依次为：
2、在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
1、总体设计说明
幂函数是函数教学的最后一个函数，在通过学习了指数函数与对数函数之后，同学们已经基本掌握了研究函数的一般方法，因此幂函数是交给学生自主研究的一个重要的契机。函数的学习，目的在于通过对几个基本初等函数的研究让学生掌握研究一个陌生函数的方法。
基于以上认识，确定本节课的教学目标如下
（1）引导学生从具体实例中概括典型特征，形成幂函数的概念，并用数学符号表示。
（2）运用数学结合的思想，让学生经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，运动研究函数的一般方法，掌握幂函数的图像特征与性质。
（3）能够利用幂函数的性质比较两个数的大小
教学重点与难点如下
教学重点：通过让学生经历几个特殊幂函数的研究过程，抽象概括幂函数的图像与性质
教学难点：根据具体的幂函数的图像与性质归纳出一般幂函数的图像与性质
本节课的教学采用开放式的自主学习方式，通过引导学生对几个具体的幂函数的研究让学生归纳出一般幂函数的图像与性质。
本节课的教学过程分为三个阶段：一是概念建构；二是实验探究；三是性质应用
2、教学过程剖析
2.1创设情境 建构概念
问题1 (1)正方形的边长a与面积S之间是函数关系吗？
（2）正方体的边长a与体积V之间是函数关系吗？
【设计意图】 从实际的问题引入，让学生感受幂函数与实际的联系，初步感受幂函数
学生找到两个变量之间的函数关系，并给出函数的解析式： 和 。
师：我们把形如 的函数称为幂函数。
直接给出定义，这里其实可以让学生再举几个类似的函数的例子，通过多个实例再让学生抽象幂函数的定义会更好。
师：我们研究问题一般是从特殊到一般，具体到抽象的一个过程，因此我们可以先研究几个特殊的幂函数，比如最特殊 ，图像长什么样子？
生：是一条直线。
师：你确定是一条直线吗？
生：是一条直线去掉一个点 师：为什么？
生：定义域中x不能取到0。
师：我们研究函数一般先看函数的定义域。
师：我们可以先研究 的情况，你打算研究 为哪些值？
【设计意图】引导学生思考如何选取 的研究起来比较方便，一般学生会选择 为1,2,3来进行研究，实际操作
教学目标：
1、结合实例，了解幂函数的概念
2、结合具体的幂函数的图象，了解它们的变化情况及性质
3、在探讨幂函数性质的过程中，体会由特殊到一般及数形结合的数学思想方法
教学重点：幂函数的图象和性质
教学难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质
教学过程：
教学内容问题、任务师生活动设计意图
一、幂函数的定义
二、几个具体幂函数的图象
三、几个具体幂函数的性质
四、小结提升
五、作业
1、某种蔬菜每千克1元，若购买千克，需要支付元是函数吗？
2、正方形的边长为，那么它的面积是的函数吗？
3、立方体的边长为，那么它的体积是的函数吗？
4、正方形的面积为，那么它的边长是的函数吗？
5、某人内骑车 内行进了1,那么他骑车的平均速度是函数吗？
6、这五个函数有什么共同特征？
7、给出幂函数的定义
8、下列函数是幂函数吗？
9、幂函数的定义和指数函数的定义有什么区别？
10、 已知幂函数的图象过点（4， ），求这个函数的解析式？
11、 观察幂函数的图象
12、作函数的图象。
13、 作函数的图象。
14、作函数的图象。
15、根据所作函数的图象，分别讨论这些函数的性质。
16、你能证明幂函数在[0，+ 上是增函数吗？
17、从整体上把握幂函数的图象。
作业P79习题1、2、3
师：投影展示问题，引导学生根据函数的定义进行分析。
生：根据函数定义思考并回答。
师：板书这5个函数表达式。
师生：从形式上分析：是指数幂的形式，其中底数是自变量，指数是常数。
师：板书定义。
生：根据幂函数的形式进行辨别。
生：对比指数函数的定义，指出区别。
师生：用待定系数法共同完成。
师：几何画板展示幂函数图象，随着指数 的改变，幂函数图象的形态和位置都发生改变。
生：观察指数的变化和图象的变化
师：幂函数的图象因指数 不同而形态各异，远比指数函数的。图象复杂。但我们可以通过讨论其中有代表性的几个函数来了解幂函数的图象特征。生：在同一坐标系中作出三个函数的图象。
师：巡视指导。
师：用几何画板作出三个函数的图象。
生：对照检查，注意所作图象的特征。
师：提示横坐标取值： 。巡视学生作图情况。
生：列表，并描点作图。
师：投影函数图象。
师：指导作图：取横坐标0。
生：作图。
师：投影图象。
师：引导学生根据函数的图象，指出函数的性质。
生：指出函数性质并完成课本第78页表格。
生：尝试证明。
师生：共同完成证明。
师：几何画板动态展示幂函数在第一象限的图象，引导学生观察图象的变化。师生共同归纳图象的主要特征：在 上：减函数 ：猛增：增函数 ：缓增通过实际问题，引入幂函数。由特殊到一般的提练、概括。形式定义，注意辨别。对比，加深印象，避免与指数函数混淆。进一步加强理解幂函数定义。对幂函数的图象作整体感知，了解幂函数的图象和性质与指数 关系密切。三个函数都是初中学过的，描三个点作出简图，把握图象的主要特征。数形结合。
教学目标
1、使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
2、通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力。通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力。
3、通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念。
教学难点：函数单调性的判定。
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象。）
第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小。
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对。他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别。当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小。虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质。我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质。而这些研究结论是直观地由图象得到的。在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容。
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意。）
二、对概念的分析
（板书课题：）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍。
（学生朗读。）
师：好，请坐。通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的。定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少。
师：说得非常正确。定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质。这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣。）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力。
（指图说明。）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间。
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解。渗透数形结合分析问题的数学思想方法。）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师。）
生：较大的函数值的函数。
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数。
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整。）
师：好。我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析� ）
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环。因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力。
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气。在学生感到无从下手时，给以适当的提示。）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语。
师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同。增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性。请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能。因为此时函数值是一个数。
师：对。函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化。那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能。比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数。因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数。
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知。）
师：好。他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”。这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数。因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间。
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语。
师：你答的很对。能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示。）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取。
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以。
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）。
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻。）
生：可以构造一个反例。考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了。
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数。
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性。
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解。在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的'发散思维能力。）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小。即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立。这恰是辩证法中一般和特殊的关系。
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力。）
三、概念的应用
证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数。
师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径。
（指出用定义证明的必要性。）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程。
（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演。学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发。）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立。因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系。
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数。
师：他的证明思路是清楚的。一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）。但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号。应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）。最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）。
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住。需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小。
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势。在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的。）
调函数吗？并用定义证明你的结论。
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义。比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数。
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数。
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数。因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接。另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间。
上是减函数。
（教师巡视。对学生证明中出现的问题给予点拔。可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分。
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1。
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视。）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示。）
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤。
课堂教学设计说明
是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理。
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点。因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用。
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。
教学目标
1通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。
3培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。
教学重点、难点
重点：幂函数的性质及运用
难点：幂函数图象和性质的发现过程
教学方法：问题探究法 教具：多媒体
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元)和购买的水果量w(千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 ，这里S是a的函数。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积 ，这里V是a的函数。 问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长 ，这里a是S的函数 问题5：如果某人 s内骑车行进了 km，那么他骑车的速度 ，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边指数式，且底数都是变量） 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
由学生讨论，（教师可提示p=w可看成p=w1）总结，即可得出：p=w, s=a2, a=s ， v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数。
幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数(power function)，其中 是自变量， 是常数。 1幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念） 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 例1判别下列函数中有几个幂函数？
① y= ②y=2x2 ③y=x ④y=x2+x ⑤y=-x3 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （由学生独立思考、回答）
2幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？
（学生讨论，教师引导。学生回答。）
3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？
（学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域并不完全相同，应区别对待。）教师指出：幂函数y=xn中，当n=0时，其表达式y=x0=1;定义域为（-∞，0)U(0，+∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图象是从点（0,1)出发，平行于x轴的两条射线，但点(0,1)要除外。）
例2写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x
（学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生具体问题具体分析，并作简单归纳：分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义域。幂函数的奇偶性也应具体分析。）
4上述函数①y=x ②y= ③y=x ④y=x 的单调性如何？如何判断？
（学生思考，引导作图可得。并加上y=x 和y=x-1图象）接下来， 在同一坐标系中学生作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示。见后附图1
让学生观察图象，看单调性、以及还有哪些共同点？（学生思考，回答。教师注意学生叙述的严密性。）
教师总评：幂函数的性质
（1)所有的幂函数在(0，+∞）上都有定义，并且图象都过点(1,1)，
（2)如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并在区间[0，+∞）上是增函数，
（3)如果a<0，则幂函数在(0，+∞）上是减函数，在第一区间内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地趋近y轴；当x趋向于+∞，图象在x轴上方无限地趋近x轴。
5通过观察例1，在幂函数y=xa中，当a是(1)正偶数、(2)正奇数时，这一类函数有哪种性质？
学生思考，教师讲评：(1)在幂函数y=xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。(2)在幂函数y=xa中，当a是正奇数时，函数都是奇函数，在第一象限内是增函数。
例3巩固练习 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x ②y=x ③y=x 。
例4简单应用1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：
①0.75 ，0.76 ；
②(-0.95) ，(-0.96) ；
③0.23 ，0.24 ；
④0.31 ，0.31
例5简单应用2：幂函数y=(m -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。
例6简单应用2：
已知(a+1)<(3-2a) ，试求a的取值范围。
课堂小结
今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？
1、 幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、 常见幂函数的图象和幂函数的性质。
布置作业：
课本p.73 2、3、4、思考5
一、教学内容分析
教材地位：幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化、
教学重点：幂函数的图像与性质、
教学难点：以幂函数为背景的图像变换、
二、教学目标设计
能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；理解幂函数图像的演进及单调性质；理解幂函数图形特征与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。能以幂函数为背景进行基本的函数图像的平移和对称变换、
三、教学流程设计
设置情境→探索研究→总结提炼→尝试应用→练习回馈→设置评价
五、教学过程设计
1、情境设置
指导学生描画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质、
2、探索研究
问题：如图所示的分别是幂函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦在坐标系中第一象限内的图像，请尽可能精确地将指数的范围分别确定出来
3、总结提炼
揭示幂函数图像特征与底数的依赖关系、师生共同整理出规律性结论、
4、尝试应用
①（1）研究函数的图像之间的关系；
（2）在同一坐标中作上述函数的图像；
（3）由所作函数的图像判断最后一个函数的奇偶性、单调性、
②已知函数
（1）试求该函数的零点，并作出图像；
（2）是否存在自然数，使=1000，若存在，求出；若不存在，请说明理由、
③作函数的大致图像、
5、练习回馈
课本第83页练习4、1（2）
六、教学评价设计
习题4、1——
B组（根据学生具体情况选用）