在日复一日的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。想要一份整理好的知识点吗？熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟，以下是爱岗的小编为大伙儿整理的数学分析论文【优秀8篇】，欢迎借鉴，希望对大家有所帮助。
一、学生分层
对于小学数学来说，进行分层教学必须按照顺序逐步进行，首要的工作就是要对学生进行一定的分层。一般来说，可以将学生分为三类：第一类是学优生（A层），他们的逻辑思维能力和理解能力较强，基本上能够当天学习当天消化，并且有效的掌握好知识，能够灵活的运用；第二类是中等学生（B层），这部分学生的成绩存在较大的浮动情况，如果稍微松懈，就会沦落到学困生的行列中，但是刻苦学习的话，短时间内就可以获得较大的提升，加入学优生的行列；第三类就是学困生（C层），他们是班级的弱势群体，同时也是教师比较容易忽略的学生，由于学习成较差，而且并没有特别出彩的地方，因此在学习数学的过程中，产生了很大的阻碍。按照这样的标准进行分层，可以对之后的教学工作产生一定的积极影响。另一方面，由于层次为三个，因此在管理的时候，也能够达到一个理想的效果。
二、教学目标分层
教学目标应考虑从低到高几个不同层次的目标，包括学生目前已达到的独立发展水平、教学应达到的水平和学生的潜在水平，以促进学生不断趋向自己的最近发展区，将潜在发展水平转化为独立发展水平。另外，不同层次之间的教学目标也可以相互转化，当C层的学生或 B层的学生达到了所在层级的教学目标后，则应努力向上一层的教学目标努力。由此可见，在进行教学目标分层的时候，必须考虑到学生的自身情况以及未来的发展前景。重点要了解学生的优势在哪些方面，比方说逻辑思维能力强的学生应该加强记忆方面的能力，而空间想象能力较强的学生应该加强思考的能力。值得注意的是，教师不能对学生有偏见，即使是学困生也存在一定的优势，只是需要教师进行一定的启发。分层教学的目的就是为了让全班同学都有一个较大的提升，因此绝对不能忽略任何一个群体。
三、教学过程分层
（一）全面考虑
在教学的过程中，教师虽然能够意识到要照顾所有的学生，但由于应用传统的教学方式进行了长期的教学，因此很多时候会不由自主地偏向学优生和中等生，导致忽略学困生的情况发生。在这种情况下，必须不断的进行实践锻炼，在实际的教学过程中强化各个环节的工作，避免发生忽视的情况。
（二）实例分析
在教学“求一个数（0除外）的倒数的方法”这一知识时，对C层的学生可以提出直接通过自学，总结出规律的要求；对B层的学生可先出示一系列的导学思考题，让他们根据问题进行探讨；对C层的学生则可以先出示求倒数的方法，然后让他们去尝试验证。通过这种方式的教学，能够让每一个层面的学生在实际的学习中，最大化地吸收知识，而且会充分激发出他们的潜能。总体来说，在教学过程中进行分层，能让学优生认识到自身的不足，从而获得一定的深化；可以让中等生认识到自己需要加强的环节与自身的优势，在双重作用下能够快速的提升；而学困生在接受教学以后，可以打下一个较为坚实的基础，并且为之后的学习产生较大的积极影响，同时还会树立较强的自信心，在主观上获得较大的助力。
四、作业分层
小学数学教学分层的最大优势在于，会对每一项教学工作进行分层，丝毫没有遗漏。而且，相对于其它学科来说，数学的分层能够更加明确，不会出现界限不清的情况。针对这个特点，我们可以在今后的工作中，对数学作业进行有效的分层，从学优生到学困生，根据每个层次学生的具体特点来进行布置，从而强化他们在课堂上学习的知识。本文认为，教师在布置作业时，要面向不同的学生体现层次性，不再是“一刀切”，而要给出不同层次的作业供学生选择。在内容上可分为基础知识题和技术能力题，布置作业时应分别指定哪些题目必须完成、哪些题目可以选择完成、哪些属于较难的补充题，对不同层级的学生提出不同的要求。由此可见，作业分层对学生学习数学来说，是非常重要的，必须在今后的教学工作中，不断的深化，从而对学生产生更大的积极影响。
五、评价分层
在分层教学中，评价分层是一个不可忽视的环节。分层评价是实施分层教学的保证，对不同层次的学生采取不同的评价标准，充分发挥评价的功能。分层评价主张“不用同一把尺子衡量学生”，坚持“有利于学生发展的原则”。普通的评价会采用统一的标准，这样只有学习好的同学占有优势，而且自信心越来越强；相反的，学习中等和较差的同学，由于总是达不到要求，因此会产生一定的沮丧心理，对数学的学习造成一定的消极影响。分层教学中的评价分层，可以根据学生的分层目标以及分层学习内容来进行评价，得到的结果是针对性的，并不是采用统一的标准，是根据层次标准来进行评价。每个学生都能得到应有的评价，避免了一些不良情况的产生。值得注意的是，评价分层必须结合实际的情况来进行，不能因为单纯的要照顾学生心理，而进行片面的鼓励，这样反而会对学生产生一定的消极影响。
六、总结
本文对小学数学分层教学进行了一定的解析，从全国的大部分小学来看，在应用分层教学的时候，产生了很广泛的积极影响，并且帮助众多的学困生树立了自信，数学的整体成绩有了很大的提升。今后的工作重点在于将分层教学进行一定的细化，根据学生的实际情况找出重点工作，把所有难关全部攻克。
参考文献：
[1]黄九林。“六学主导，分层推进”――小学高年级“数学课堂教学模式”的探索与实践[J].文理导航（下旬），2012，（11）.
随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教育的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的提高具有巨大的影响。因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。可目前由于受“应试教育”的影响，数学教学中违背教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。
一
对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”［1］等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学结、课外学习等各个学习环节之中）［2］；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）［3］等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。
二
从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是3条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。
1．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动速度v＝v0＋at、产品的成本m＝m0＋at、金属加热引起的长度变化l＝l0＋at中再次抽象出一次函数f（x）＝ax＋b，显然要经过比较（它们的异同）和概括（它们的共同特征）。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。
2．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为180°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”［4］。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。
3．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。
三
从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”［5］。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下3点：
1．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。
2．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。②重视数学思想的挖掘和渗透。由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重数学方法的明晰教学。数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。
3．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机
制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。③要充分揭示数学思维的过程。比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤指导学生对学习活动进行评价。如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。⑥帮助学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。
四
根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等5类。相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这5类教学之中。这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈谈自己的认识。
1．根据学生的学情安排例题。如前所述，学习新知必须建立在已有的基础之上，从内容上讲，这个基础既包括知识基础，又包括认知水平和认知能力，还包括学习兴趣、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统方面的准备。因此，无论是选配例题，还是安排例题，都要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和安排中，可采取增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据学生情况，删去比较简单的例题或要求过高的难题。所谓调，即根据学生的实际水平，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。
2．根据学习目标和任务精选例题。例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识，应用知识，巩固知识；莫过于训练数学技能，培养数学能力，发展数学观念。为发挥例题的这些基本作用，就要根据学习目标和任务选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技能、某种数学能力等重点内容而增补强化性例题，或者根据联系社会发展的需要，增加补充性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起。
3．根据解题的心理过程设计例题教学程序。按照波利亚的解题理论，一般把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾等4个阶段。这是针对解题过程本身而言的。但就解题教学来说，还应当增加一个步骤，也是首要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生一种认知的需要。对于“进入问题情境”环节，要求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标，明确学习任务，激起认知冲突。而对其余4个环节，教师的行为可按波利亚的“怎样解题表”中的要求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前3个环节，却容易忽视“回顾”环节。
严格说来，回顾环节对解题能力的提高，对例题教学目的的实现起着不可替代的作用。对回顾环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为主要的是对解题方法的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。
4．根据数学方法指导的目的和内容适度调整例题。通常，人们根据问题的条件（A）、解决的过程（B）及问题的结论（C）的情况把数学题划分为标准题和非标准题两大类：如果条件和结论都明确，学生也熟知解题过程（即A、B、C三要素全已知），这种题为标准题（记为ABC）；A、B、C三要素中缺少一个或两个要素的题则为非标准题。如果分别用X、Y、Z表示对应于A、B、C的未知成分，则非标准题的题型（计6种）可表示为：ABZ，AYC，XBC，AYZ，XBZ，XYC。数学教材中的例题大多数是ABC型和ABZ型，有部分的AYC型和极少数的AYZ型。由于数学学法指导的一项重要任务是教学生会抽象、概括、归纳、演绎，会数学地思考和交流，会分析问题和解决问题，因而例题教学要特别注重教材中缺少的几种类型题的教学。其中最为重要的是“开放性题”（ABZ型和AYZ型例题中，Z不唯一）和“数学问题解决”中所指出的“数学应用题”（AYC型及AYZ型中所涉及的主题是数学以外的内容）。对于“开放性题”，由于它的结论不唯一，对培养学生数学思维有着至关重要的作用。对于“数学应用题”，则由于它的解决要用数学模型法，因而对培养学生运用分析问题和解决问题的方法是十分重要的。从数学学法指导的角度来说，适度调整例题很有必要。调整的策略有二：一是改，即将已有的题型变换为别的题型；二是增，即增加与知识点有关的“开放性题”和“数学应用题”。
5．注重对例题的全方位反思。例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构
[关键词] 初中数学；数学课程标准；数据分析观念；数学素养
一、初中生培养数据分析观念的意义
课程标准认为数据分析观念主要指：在现实生活中处理问题时先做调查研究，收集到有用的数据，分析数据中蕴含的信息并以此为依据做出判断；掌握解决问题的多种方法，能根据问题或实际情况选出合适的方法；体验数据分析中的随机性，在足够的数据中发现规律。[1] 也就是说在数据分析观念的指导下，学生能够用适当的统计分析方法对收集的大量数据进行分析，提取有用信息或形成结论，从而对数据加以研究和概括总结。观念指导实践，培养学生的数据分析观念就是培养学生形成有效的问题解决策略，在数据中发现价值从而指导决策。数据分析观念的形成需要学生经历数据统计分析的全过程，包括调查研究，收集、整理、分析数据并做出预测和决策，再进行交流、评价与改进，进而形成对数据处理的思维。
二、初中生数据分析观念现状
课程标准将原来培养学生“统计观念”的目标改成如今的培养学生“数据分析观念”，是为了让学生对数据有一个宏观的把握并能利用数据分析观念解决问题。而学生，甚至是一些教师，没有意识到概念的转变意味着学习方式和教学方式的转变，仍然以升学考试各知识点的占比作为学习的主体，为学习而学习，为升学考试而教。教师应该利用教材的系统性安排，为学生合理设计教学计划，以培养学生的数学素养和数学能力为最终目的，唯此才能从根本上提高学生的数学学习能力。
学生的数据分析水平一定程度上反映了数据分析能力。据调查统计，[2] 不具备数据分析观念的学生和能够建立数据表征但不明白目的和作用的学生占调查的初中生一大半。教师因为过于注重对频率和概率的概念性教学，使学生不能够正确认识频率与概率的关系，也不会从数据分析中找到规律。学生数据分析水平不高的原因主要是教师在教学中重计算、轻体验，重讲授、轻探究，重得分、轻能力，重结果、轻过程。[3]
三、课堂培养策略
1.提升学生兴趣
培养学生的数据分析观念，要让学生主动参与课堂学习。教学中适当地使用情境教学法，将生活实际问题转入数学知识的教学中，能够激发学生的探究欲望，促进学生建构数学知识体系和迁移知识。情境的设置可以包括对天气预报的准确程度进行预测、商场打折促销活动的折扣程度，甚至是银行存款利率变动的原因分析等，依据学生的知识掌握情况和课程进度向学生抛出与日常生活，与民生息息相关的事件，引发学生关注，学生在教师指导下认识到数据分析给解决这些问题带来的便利。
随着教学的深入，学习难度提升，教师情境教学方式要让学生进入到对数据分析的体验过程中，亲历数据的收集、整理、处理、分析和做出判断，在体验中形成数据分析意识，提升数据分析能力。例如，对“随机事件”的教学，教师提出骰子抛掷后正面朝上的点数的可能性，先让学生提出自己的观点，然后教师给学生骰子让学生分成若干小组自己尝试抛掷10次、20次、30次甚至更多次并将每一次结果记录下来。抛掷完骰子后，教师让学生汇总数据并汇报6个面分别朝上的次数占总次数的比例，接着将每个组得出的结果展现给学生，学生会发现结果不尽相同，汇总所有小组的结果后，不同点数分别朝上的占比还是可能与所有小组都不一样，由此引出随机事件的概念。学生通过这一过程体验到数据的收集、整理、处理过程，形成处理问题通过数据来做出判断的意识。
2.掌握数据辨别能力
数据分析是个应用性较强的活动，日常生活中经常要运用到各种数据分析，但怎样在众多数据中提取有效信息为我所用，学生对此还很不清楚。因为不管学习还是做题时，经常是给出的数据都是有用数据，没有其他数据掺和进来混淆对数据的分析活动，可现实生活中，同一个事件产生的数据不止一种。这就需要教师留意培养学生理智选择数据进行分析的意识，对数据抱有质疑态度，才会深入数据的形成过程，理解每一组数据代表的信息。
例如，给出一组数据：65、72、60、65、88、90、70、65、65，假设是某班一次考试成绩，教师向学生提问：如果要分析学生的整体水平，要怎样利用这组数据呢？不少学生可能认为计算出所有成绩的平均数就是这次考试的整体水平，而这个平均数约为71分。这时候教师可以让学生思考：平均分71分和占了全部数据的4/9的65分哪个更能代表这个班的总体水平呢？由此引入“众数”的概念――一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，并且让学生认识到，平均数与众数都是对整体数据进行分析，但平均数是反映数据的总体平均水平，而众数则反映数据的多数水平，虽然用以代表数据可靠性相对差一些，但它不受极端数据的影响，求法简便，适用于大面积的普查研究或非数值型信息。通过这样的教学设置，学生既学到了新的知识点，同时也掌握了在不同数据和问题中辨别数据、利用数据的能力，在面对数据时，能有意识地辨别、选择有用数据。
3.强化分析能力
教学中教师经常花更多的精力让学生读图作分析，忽略了让学生知道并掌握这个图表要在什么诉求下形成，什么情况下用别的图表形式来呈现数据。而让学生会选择合适的方法分析数据，能更直观地显示数据分析结果，有助于提升判断的准确性。教学中可以引导学生体验在同种数据下各种图表的产生和形成过程，比较数据分析方式的差异，找出最优数据分析方法，提升数据分析观念。
通过让学生对比各种类型图表，学生会发现，柱状图比表格呈现稍微直观一些，而折线图比柱状图对波动的表现更为直观。比较柱状图和折线图，会发现柱状图较容易比较数据之间的差异，而折线图在表示数量多少的同时，还可以反映同一事件在不同时间的变化情况。这种体验分析，提高了学生辩证思考和分析问题的能力，学生能够建立起在不同需求下分析处理数据的观念，并知道如何选择分析方法，然后依据数据的趋势进行预测并给出合理建议。
4.课后锻炼策略
观念的形成不能一蹴而就，数学思维能力需要在不断的锻炼中获得提升，使能力得到提高进而促进良好数据分析意识的形成，而良好的数据分析观念能推动向应用能力的转化。实际生活中有太多可以让学生发挥数据分析意识去解决的问题，教师对学生的课后作业可以不用局限于教材教辅提出的练习，而是让学生自主选择一个主题，自己亲历提出问题，收集、筛选、分析数据并得出结论的过程。例如，对学生每天放学后从学校回到家的时间进行统计分析，调查身边同学所喝矿泉水的品牌，看篮球赛时对不同队员的投篮次数进行统计并分析等等。相比于埋头在习题中，这些有趣的观察记录活动更能吸引学生的兴趣，发挥主观能动性去参与，也有利于培养学生全面、客观、务实的数据分析意识。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]张宁。初中生数据分析观念发展水平及教学成因研究[D].重庆师范大学，2013.
[3]龚杰。九年级学生数据分析观念水平的调查研究[D].苏州大学，2016.
归纳和演绎是一切科学研究常用的两种思维方式，小学数学中是不自觉地运用过这两种思维方法。例如，从一些特例归纳出运算律，然后用运算律指导运算，我们教师应努力挖掘这些因素，在能力上对学生进行有意的培养，而不停留在知识的传授上，例如：“商不变的性质”“数的整除的特征”“三角形三内角和等于180度”等一些基本概念、公式、方法中，都有一个不完全归纳的过程。如果简单地把结论端出，就失去了培养思维能力的机会，如果引导学生自己去发现这些规律得出结论，那就会得到归纳能力的训练。从特殊到一般的认识过程中有观察、分析、概括、检验和表达等复杂心理活动。观察有个由表及里的过程，分析有个剔除个性、显出共性的问题，概括有个抽象出事物本质属性的能力问题，检验有个完善自己认识的习惯问题，最后归纳成某种结论，还有个语言表达的能力问题。因此，要引导学生真正从特例归纳出一个定理、法则是要一些时间和心思，与其花很多时间讲题目，倒不如花点时间让学生对知识发生过程作些必要的探索，因为这样可培养学生的思维能力。
演绎在小学的应用主要形成是说理，例如：“三角形的面积公式，圆锥体的体积公式”是推理办法解决的，虽然我们在讲这些法则时还要借助实例给以印证，但至少应渗透“从已有的正确判断推出新的判断”这种思想，又如：梯形的面积公式推导，都要贯彻说理精神，长此下去，才能培养出演绎推理的习惯。同时，在演绎推理训练中又要穿插归纳法。
总之，要交叉地训练这两种能力，这恐怕是引导学生进入逻辑思维之门的台阶。
2逻辑思维与直觉思维的能力
直觉思维是指没有经过深思，迅速地对问题作出答案，作出合理的猜测或判断的思维。或者说是在百思不得其解时突然领悟到的思维。直觉思维与逻辑思维不同，逻辑思维是经过一步一步分折，作出科学的结论；直觉思维是很快领悟到的一些猜想。小学生学数学，主要是使用直觉思维，例如：计算9+9+9+7+7学生会得出①(9+7)×3；②8×6这两个乘法式，这不是简单的模仿，而是直觉思维的成果。
我们在教学中，在注重培养学生逻辑思维的同时，要适当运用直觉思维思维方法进行教学，这对培养思维的敏捷性、灵活性和创造性有着重要的意义。这两者的关系是：分析思维为主，渗透直觉思维，鼓励思维简缩，分析验证跟上。
如教学“较简单的求平均数应用题”，在学生认识了求平均数应用题的特征，理解了“移多补少”的实质，掌握了“总数÷总份数＝平均数”关系后，解答“在一个鱼塘里，选择五个不同的地方，测得水深分别是200厘米，150厘米、220厘米、250厘米、180厘米，求这个鱼塘的平均水深”。让学生列式后说出怎样想的。他们说：“要求平均水深，就要知道测了几次及测得水深的总和。”这反映了学生思维能力。教师再启发学生运用“移多补少”的道理，观察五个数的特点，直接地“看”出答案来，这就在逻辑思维的基础上渗透了直觉思维的训练。
教师又出示：“某校三年级有三个班，甲班40人，乙班比甲班多5人，丙班比甲班多7人，平均每班多少人？”让学生想一想，能用几种方法解答，哪一种最快。一个学生很快算出平均每班有44人，他们想法是：每班至少有40人，三个班还多出(5+7)人。12÷3=4（人）所以平均每班44人。通过讨论比较，大家一致肯定这种解法比较简捷合理，这说明经过培养，思维简缩性有了提高。
教师再出示两道选择题：
(1)一辆汽车第一天运货15吨，第二天运17吨，第三天上午9吨，下午7吨，平均每天运货多少吨？
A：16吨B：12吨
(2)小金期末考试成绩语文90分，数学89分，思品比语文少3分，自然比数学多5分，求四科的平均成绩。
A：小于90分B：大于90分C：等于90分
要求学生有根据、有条理地说出选择答案的理由，这样，又运用逻辑思维对直觉的结论进行了论证。
3集中思维和扩散思维的能力
目前，许多心理学家认为，创造性思维有赖于扩散思维与集中思维的协调结合。集中思维是从一个背景出发，遵循一种常用的既定的思维渠道达到思维目标，它们几何形态可描绘为从一点出发的一条射线。所谓扩散思维，即从同一背景出发，遵循尽可能多的新的不同的渠道达到思维目标，它的几何形态可描绘为从一点出发的空间一束射线，前者表现为模仿、继承，后者表现于外部行为，就表现为一个人的创造能力，它通常具有变通性、流畅性，创造性的特点，是创造性思维的基础。例如：当问"1=？"时，一些学生回答：1+0=1、100-99=1、1×1=l、2÷2=1、5-4=1、5+3-7=1……等等。有的学生干脆说：“写不完”，“写不完”就是流畅性的表现，能从各个方面用各种方式运算，是变通性的表现；对"1=？"的回答，各个学生各有其特点，是其独创性的表现。
当然，强调发散思维的重要性，并不意味着可以将创造性思维与扩散思维简单等同，也不能因此可以忽视集中思维。扩散思维是多向思考，提供多种可能性方案，但没提供最佳方案，它还需要经过集中思维的分析筛选，寻找一种最佳方案。创造性地解决问题总是发散后集中，所以，我们要把发散思维训练作为一项重要任务，自觉地纳入日常的教学活动中。要根据班级实际引导思维发散、反对形式上的“活跃”而不扎实的发散，也要防止忽视集中思维。
一题多解、一题多变、一题多问等练习可培养学生发散思维的能力。但这类练习要收到好的效果。必须做到适时扩散的能力。但这类练习要收到收的效果，必须做到适时扩散、适时收敛、适时引导、适时评价。
4正向思维与逆向思维的能力
世界上许多事物的运动形态都是双向的，数学中的双向思维比比皆是，运算与逆运算，分析与综合等等。当人们习惯于正向思维时，某种逆向思维就会产生新的境界，许多发明创造就是这样萌发的。如火箭冲天对气球腾空来论，其原理是逆向的。在数学教学中也是这样，当学生经过努力从正向理解了某个规定、公式、法则后，若适当引导学生逆向思考下，往往会跨进新的知识领域。例如学了加法后再学减法，学了乘法再学除法。我们教师在教学中通过已知条件和问题的可逆性变换来打开学生的思路，培养学生的逆向思维能力。
在教学中要重视运用变式的方法精心设计练习，防止思维刻板僵化。既应用正向思维的题目，也应有逆向思维的题目，把正逆思维交融在一起。如：
()÷7=6……5
57÷()=8……1
分析是在思想中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解到各个阶段，并加以研究的思维方法。在数学中，分析就是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法。例如，为了求多边形的面积，我们可以把多边形分解为若干个三角形，分别进行研究，又如，对于列方程解应用题这一完整过程，可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察，在数学解题中，分析是首先且大量要用到的一种思维方法，因为对于求知的整体事物，要使学生深刻地认识它、理解它，首先就得恰当地分解它、简化它。具体地说，分析法是从数学题的特征结论或要求出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
例1:如图，P是O外一点，PQ切O于Q,PAB和PCD是割线，∠PAC=∠BAD.求证：PQ■=PA■+AC·AD.
证法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB
要证：PQ■=PA■+AC·AD
只需证：PA·PB= PA■+AC·AD
即证AC·AD= PA■-PA·PB
即AC·AD= PA(PA-PB)
又因PA-PB=AB
只需证AC·AD=PA·AB
即AC/PA=AB/AD
这就将问题转化为证明PAC与ABD相似。
连接BD,因∠PAC是圆内接四边形ABCD的一个外角，故∠PCA=∠ABD.
又∠PAC=∠BAD,故PAC∽DAB,由此命题得证。
综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各个要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法，在数学中综合就是从原因推导到由原因产生的结果的一种思维方法。例如，把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察，对有理数就能有一个完整的认识；把有理数和无理数联结起来研究，则对实数就可以有更深刻的理解。综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起，而是着重于找出其互相联系的规律性。具体地说，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
例2:已知a , b ,c, d为正实数，且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求证：a=b=c=d.
证明：(综合法)
由 a■+b■+c■+d■=4abcd
得 a■+b■+c■+d■- 4abcd=0
从而转化成 (a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0
即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0
易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0
又a,b,c,d为正数
故有a=b, c=d,ab=cd
关键词：泛函分析；距离；极限；距离空间；向量
一、生活中的距离
生活中人们对距离概念的理解通常是来自所看见两个物体的相对位置关系，也就是我们所说的远近程度。在物理学中，距离是由某些媒介，如人、动物和交通工具所经过的路线的长度，由起点到终点的向量则是位移。在数学中，距离是一种标量，不具有方向，仅含量，这种量不会是负数。同时，距离也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首要接触的概念，也是定义在度量空间的一种函数。
下面我们主要从数学的角度来探究距离的概念。
对于一维、二维、三维空间中两点间的距离，我们都非常熟悉，以三维空间为例，在三维欧式空间中，设其中的两点分别为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则两点间的距离为
AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2。
这是对于我们现实生活中的距离，我们能借助勾股定理将两点间的距离刻划成线段来得到他们间的数量关系。同样，对于n维线性空间上的距离，我们通过代数形式的类比，得出A，B两点的距离表达式
AB=AB=OA-OB=∑ni=1xi-yi21/2。
从上述内容中可以看出，不论是R中的点还是Rn中的点，甚至任意集合中的点，只要在其中定义了距离，我们就可以用它来衡量两点的接近程度。众所周知，极限是分析数学学习的基础，而距离又是极限定义的基础，所以，下面我们首先来考察距离与极限的关系。
二、距离与极限的关系
首先我们给出数列极限的定义。
定义1：设为数列an，a为定数，如果对任给的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时有an-a<ε
则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作
limn∞an=a，或anan∞
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”。
从直观上看，如果将数列看成实数轴上的一列点，任意两点间的距离等于两点差的绝对值，当n越来越大时，an与a的差越来越小（足够小），也就是说an与a之间的距离越来越小。
由此可见，距离在极限的学习中起着至关重要的作用。
定义2：若fx在点x0的某领域内有定义，且limxx0fx=fx0，则称f在点x0连续，x0称为f的连续点。
用“ε-δ”语言即：若对任给的ε>0，存在δ>0，使得当x-x0<δ时有f（x）-f（x0）<ε， 则称函数f在点x0上连续。
由此可见，在数列和一元函数的极限中，距离都可以用两点间的差的绝对值表示出来，所以我们可以得出结论，极限和距离有着密切的关系，极限均可用距离来表示。一般n元函数极限的定义与一元函数的定义类似。
三、度量空间中的距离
定义3（度量空间定义）：设X是任意一个非空集合，x，y，z∈X，都有唯一确定的实数d（x，y）与之对应且满足
1.（非负性）dx，y≥0，d（x，y）=0x=y;
2.（三点不等式）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）;
称dx，y是x，y之间距离，称X，d为度量空间（或距离空间）。
对于距离空间，我们举几个例子：
例1：对于点集Rn，对Rn中任意两点x=（ξ1，ξ2，…，ξn），y=（η1，η2，…，ηn），规定d（x，y）=（∑ni=1ξi-ηi2）12，可以验证，d（x，y） 满足距离的定义要求，故Rn，d成为一个距离空间，即我们熟知的n维欧氏空间。
例2：l2表示满足∑∞i=1xi2<+∞的实数列（即平方可和数列）xi的全体，在l2上定义：x=x1，…，xi，…∈l2，y=（y1，…，yi，…）∈l2，ρ（x，y）=∑∞i=1xi-yj212，可以验证，ρ（x，y） 满足距离的定义要求，从而（l2，ρ）为距离空间。此空间在处理无限维Hilbert空间理论时非常重要。
下面我们再给出几种不常见到，但又具有重要意义的特殊距离。
四、几个特殊距离定义
1、切比雪夫距离：数学上，切比雪夫距离（或是L∞度量是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。以x1，y1和x2，y2二点为例，其切比雪夫距离为max（x2-x1，y1-y2）。
若二个向量或二个点p 和 q，其坐标分别为pi及qi，则两者之间的切比雪夫距离定义如下：Dchebyshev（p，q）=maxi（pi-qi）
这也等于以下Lp度量的极值：limk∞（∑ni=1pi-qik）1k。
因此切比雪夫距离也称为L∞度量。
以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（或称√★√为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种。
2、伪双曲距离
在复平面单位圆盘中，定义ρ（z，w）=z-w1-zw，z，w∈DT∈B（H），记T=（TT）12，设A，B∈BH，φAB=A-BI-AB-1，令d（A，B）为A，B间的伪双曲距离。
3、Bergman距离：设z，w是Ω中的两点，Ω 中连接z，w的光滑曲线全体记为Q，即Q=γ：0，1Ω是光滑曲线：γ0=z，γ1=w，定义z，w的Bergman距离β（z，w）=infrB：r∈〗Q ，βz，w=12log1+ρ（z，w）1-ρ（z，w）。
伪双曲距离和Bergman距离在函数空间上算子理论研究中起着很重要的作用，在许多问题的讨论中需要借助于这两种距离的各种酉不变性质。
此篇文章，我们从生活中的距离，引出数学中的距离，分析抽象中的距离，这使我们愈加清楚了距离概念的重要性，也会对我们今后对数学的学习产生更加深刻的领会。（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）
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一、生活知识匮乏，关键信息抓不准
“让数学从生活中来，回到生活中去”是新课程改革以来非常重要的一个理念，明确了数学的实用价值，因此，教师在数学教学中应当认真贯彻这一理念。但是，在实际的教学过程中，我们发现，由于学生生活知识的匮乏，往往不能理解相关的数学问题，不能抓准关键信息，许多简单的数学实际问题，对于学生来说却是困难重重。
例1：电子秤显示0.725kg，单价是25元/kg，张师傅实付多少元？
正确解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）
错例分析：两个班共有46位学生将结果写成了18.125，占总人数的64.7%，只有11位学生正确写成18.13，占总人数的15.5%，另有14位学生完全算错。考查的知识点是结合生活实际“元、角、分”保留两位小数，题目中“实付”两字也提醒学生需要结合实际。产生错误的原因：一是平时教学中虽然强调过保留小数位数的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的练习题中多已明确告知学生需要保留的位数，不需学生自己判断，而此题保留位数是隐含的信息，需要学生学会观察和分析；二是生活知识缺乏，实际问题的分析能力偏弱，没有抓住题目中的“实付”这一关键信息解决问题。
二、思考不深入，数学思维周密性不够
数学思维是人脑对数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上是数学活动中的思维，它具有深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性、批判性。由于小学生的思维以具体形象思维为主，并且主观意识较强，所以，在数学思维上会出现思考不够深入，思维不够周密的问题。
例2：一个平行四边形的高是10厘米，它的两条边长分别是8厘米和12厘米，这个平行四边形的面积是多少？
错例分析：两个班共有38人发生错误，占总人数的53.5%。发生错误的学生大多认为面积有两种可能性，即为80平方厘米或者120平方厘米，原因在于认为题目中的高没有说明具体对应的底，那么两条边都可能作为平行四边形的底。但是，若以12厘米这条边为底，高为10厘米，斜边为8厘米，这样就不可能组成直角三角形，也就是说，上图中左边的所谓平行四边形是不存在的。因此，这个平行四边形的底只能选择8厘米这条边，面积为8×10=80平方厘米。这一错误的产生说明学生思维的周密性仍然不足，虽然考虑到了可能存在的两种情况，但没有进一步去推敲这两种可能性是否一定存在。
三、数学的转化与代换能力不足
随着新课程改革的深入开展，新的教育理念、教学方式对学生的学习方式产生了巨大的影响，也对小学生数学能力的提高提出了新的要求。其中数学的转化与代换能力尤为重要，学生在解决数学问题时，不但要抓住题目中的关键信息，还要学会分析题干之间的联系，学会综合考虑问题，找到“中间量”，通过等量代换或转化的形式将复杂的数学问题分解成若干个简单的数学问题。但显然，从习题的错例中不难看出学生数学转化与代换的能力仍显不足。
例3：
上图中ABCD是边长为10厘米的正方形， 三角形DOC的面积比三角形AOE的面积小8平方厘米，求阴影部分的面积。
正确解法：三角形ACD的面积为10×10÷2=50（平方厘米），根据等底等高的性质，三角形ACD和三角形CDE面积相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面积相等，阴影部分的面积是50+8=58（平方厘米）。
错例分析：该题两个班错误的共有16人，占总人数的22.5%。大多错误在于学生没有找到三角形ACD和三角形CDE面积相等这一隐含信息，所以不会做。此题考查学生等积变形和面积转化的思想，其实在平时练习中也有过类似的题目，因此，学生对于图形面积之间多几与少几的转化方法并不陌生，只是这题需要先利用等积变换知道三角形ACD的面积等于三角形CDE的面积，再通过转化和代换来求出阴影面积，比平时的练习多了一步等积变形，特别考验学生的空间想象能力和数学思维中的转化与代换能力。
四、审题不清，易上干扰信息的当
“审题”是解题的前提，是正确解题的关键之一，不认真审题就无法进行分析推理。所谓“审题”，就是弄清题目内容，弄清已经知道什么，要求（求证）什么。所以审题能力的高低，直接影响到学生的解题能力和数学学习的水平。小学生的注意力不够稳定，并且处于学习习惯的养成时期，特别容易犯审题不清的错误，也容易受题目中无关信息的干扰。
例4：一瓶可乐售价2.50元，M老师买了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的数中，K可能是（ ）。
选项：①任何数 ②15 ③25
正确解法：找回（50-2.5K）元，K的范围是0
错例分析：这题两个班中错误的有17人，占总人数的24.0%。集中错误发生在学生将M老师当成M个老师去计算了，即（50-2.5KM）元，属于审题不够清晰，不能分辨信息的有效性。这题考查的知识点是用字母表示数，因为该知识点上新课时已经接触过类似题型，变化的只是M老师这一干扰项； 而K的可能性范围在课堂上的类似题型中也有过辨析，而本题中考查学生不仅要知道范围，还得知道这个数只能是整数，其实是考虑了“生活中的数学元素”。因此，看学生错误的高发点，作为教师也需反思，我们在日常的教学中，尤其是在例题教学中，要特别重视培养学生的审题能力，使学生养成良好的审题习惯，开阔审题思路，让学生掌握数学的审题步骤和方法，这样才能提高学生的解题水平和解题技巧。
众多的典型错误，折射出当前小学生数学学习与教学中的许多问题。产生的原因也有很多，其中包括学生的学习习惯、数学思维方法方面的原因，也包括课堂教学方面存在的不足。因此，笔者认为，应从学生的主体性着手，提高学生数学学习的素养，养成良好的数学学习习惯，在日常教学中有意识地进行数学思维方法的渗透，分层展开练习，分层差异评价，通过多方面的措施来提高学生数学学习的效率，激发学生的学习兴趣，从而达到“轻负高质”的目标，最终促进学生的数学学习能力的提高。
一、数学分析的重要作用
数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论基础，其在数学教学中的作用经得起验证。并且是对数学能力、数学意识的客观反映。在教学中，其作用重点体现为以下几点：
(一)数学分析有助于培养学生的辩证唯物主义思想
数学分析以极限思想为核心内容，极限的定义利用“ε”语言实现了有限与无限两个概念紧密相连，将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语言。通过这一分析过程，学生自然的掌握了唯物主义理论，对其数学知识学习具有积极意义。
(二)数学分析有助于培养学生的数学应用意识
数学分析来源于实践，在数学教材中，许多例子应用于数学分析理论。通过数学分析理论，学生具有较强的应用意识，丰富了其解题技巧，从而培养其自主学习和探究精神，与素质教育的精神相吻合。
(三)培养抽象意识、建立审美意识
数学分析的主导思想导数和定积分具有高度抽象特点。利用数学分析思想，使学生形成正确的审美观念，培养其抽象意识。
通过概念、命题的形成过程而培养学生从本质看问题的习惯。而对于复杂事物或概念，数学分析可帮助学生学会由表及里，分清主次的特点，为学生数学问题的解决提供了多样化的、可行的方案。数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点，有助于引导学生发现数学中的美感，对数学产生好的印象，从而提高其对数学学习的兴趣。
二、数学分析原理和方法在数学中的应用
(一)微分学原理、方法在数学中的应用
数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。
函数图形多采取描点法进行图形绘制，这种方法在结果上存在一定的偏差。此时，利用数学分析的导数概念可正确判断函数的凹凸性、单调性等特点，可精确计算出函数极值点和拐点。最后，通过极限法求出渐近线，从而得出函数草图，再利用数学分析中的微积分思想就可以准确绘制函数图形。
(二)积分法原理和方法在中学数学中的应用
积分包括不定积分和定积分两部分。两种积分形式虽具有一定差别，但实际上存在必然的联系。二者之间可以实现转化，通常可将定积分转化为不定积分问题，从而降低解题难度。因此，积分法原理充分利用了数学分析的精髓，将积分与定积分问题联系在一起，提供了专业的数学解题理论。其中，定积分可用于求解面积、体积以及弧长问题。大学阶段，数学概念作为成型的理论出现，但并未进行详细的推导。这样对于一些概念的应用来说，学生理解起来较为困难，无法应用自如。而通过数学分析理论，有关公式的计算完全可利用积分或微积分精确地进行计算，并提供分析过程，使学生准确理解数学概念。总之，在数学教学中，数学分析为多种数学知识的计算提供了理论依据，为其分析提供了方向。
(三)提高能力，掌握数学思想与方法
数学分析内容丰富、理论知识扎实，并且包含了大量的数学思维。其应用有助于学生了解数学的本质，领会数学的内涵。因此，要将数学分析应用于数学教学中，需要教学人员提高教学能力，正确解读数学分析教学指导思想。在数学分析思想中，数学中常用的数形结合法、待定系数法消元及配方等方法应用广泛。从而使数学分析从思想与方法上对数学具有切实的指导意义。因此，其在数学教学中的应用具有可行性，且能够促进数学解题思维的形成。当然，在数学分析应用过程中，数学教师的素质具有重要作用，在教学过程中，教师要善于总结与联系，将学生的旧知识体系与新知识教学联系在一起，使学生能够正确认识数学教学与数学分析之间的关系，提高其学习热情，从而促进数学教学的高效化和专业化。
总结